RD Sharma解 - 第22章微分方程 - 练习22.7 | 套装2

本文介绍了 RD Sharma 解套装2 中微分方程的第22章练习22.7题的解法。该练习要求求解一阶非齐次线性微分方程。

背景知识

在求解微分方程前，需要对以下概念进行了解。

微分方程

微分方程是指函数中包含函数本身的方程式。其中，包含函数本身的导数的方程式称为微分方程。

非齐次线性微分方程

非齐次线性微分方程指一阶微分方程，形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知连续函数。

常数变易法

常数变易法是求解非齐次线性微分方程的一种方法。该方法的基本思路是，先假设非齐次线性微分方程的解为 y = u(x) * v(x)，然后通过对 y、y'、和 y'' 应用常数变易法求出 v(x)。

解题思路

根据题目要求，我们需要求解以下非齐次线性微分方程。

y' + 2y = 3ex

根据常数变易法，我们假设该微分方程的解为 y = u(x) * e2x，其中 u(x) 是待定函数，e2x 是齐次线性微分方程 y' + 2y = 0 的解。

将 y = u(x) * e2x 带入非齐次线性微分方程中，得到：

u'(x)e2x + u(x)(2e2x) + 2u(x)e2x = 3ex

化简得到：

u'(x)e2x + 3u(x)e2x = 3ex

两边同时除以 e2x，得到：

u'(x) + 3u(x) = 3ex-e2x

以上方程式是一阶非齐次线性微分方程，可以通过如下步骤求解：

1. 求出齐次线性微分方程 y' + 2y = 0 的通解。

y' + 2y = 0
=> (dy/dx)/y = -2
=> ln|y| = -2x + C
=> |y| = e^C * e^(-2x)
=> y = Ae^(-2x) 或 y = 0

其中，A 是任意常数。

2. 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

由于非齐次项为 3ex-e2x，我们可以猜测该微分方程的特解为：

y = cxex + dx2x

其中，c 和 d 是待定常数。

将 y = cxex + dx2x 带入非齐次线性微分方程中，得到：

cex + dex2x + 6cex + 4dex2x = 3ex

化简得到：

(6c+d)e2x + (c+2d)ex = 3ex

由于 3ex 是非齐次项，而 e2x 和 ex 是齐次项，所以只有当 6c+d=0 且 c+2d=3 时，方程式才有解。

解得 c=2/5 和 d=-12/25。

因此，非齐次线性微分方程的一个特解为：

y = (2/5)ex + (-12/25)x2x

3. 微分方程的通解为齐次方程通解与非齐次方程特解的和。

y = Ae^(-2x) + (2/5)ex + (-12/25)x2x

其中，A 和 B 为任意常数。

结论

本文介绍了求解非齐次线性微分方程的常数变易法，并且详细介绍了该方法在本题中的具体运用。通过本文的学习，读者可以掌握微分方程的求解方法，并且对常数变易法有更深刻的认识。