教资会网络 | UGC NET CS 2016 年 7 月 – II |问题 24

这道题涉及到算法和数据结构方面的知识。该题目要求我们找到一个有向图的强连通子图的个数。下面是一种可行的算法：

• 对原图进行深度优先搜索（DFS），得到每个节点的出栈时间戳。
• 将原图进行反向操作，得到反向图。
• 对反向图的节点按照它们在原图中的出栈时间戳的倒序排序（即堆栈中最靠前的节点在最后），依次进行 DFS（从未被 DFS 访问过的节点开始），每次 DFS 访问到的所有节点组成的就是原图中的一个强连通子图。
• 统计强连通子图的个数，输出。

下面是实现该算法的C++代码片段：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义一个Node结构体表示节点，包含两个属性：节点编号和出栈时间戳
struct Node {
    int id, outTime;
    Node(int _id, int _outTime) : id(_id), outTime(_outTime) {}
    bool operator<(const Node& n) const { return outTime > n.outTime; }  // 按出栈时间戳倒序排序
};

// 对原图进行DFS，记录每个节点的出栈时间戳
void dfs(vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited, vector<int>& outTimes, int node, int& time) {
    visited[node] = true;
    for (int neighbor : graph[node]) {
        if (!visited[neighbor]) {
            dfs(graph, visited, outTimes, neighbor, time);
        }
    }
    outTimes[node] = time++;
}

// 获取原图中的强连通子图的个数
int getSCC(vector<vector<int>>& graph) {
    int n = graph.size(), time = 0;
    vector<bool> visited(n, false);
    vector<int> outTimes(n, -1);

    // 第一次DFS，得到所有节点的出栈时间戳
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(graph, visited, outTimes, i, time);
        }
    }

    // 构建反向图
    vector<vector<int>> reverseGraph(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int neighbor : graph[i]) {
            reverseGraph[neighbor].push_back(i);
        }
    }

    // 第二次DFS，按照出栈时间戳倒序依次遍历反向图中的节点，每次遍历得到一个强连通子图
    int sccCount = 0;
    visited.assign(n, false);
    vector<Node> nodes;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        nodes.emplace_back(i, outTimes[i]);
    }
    sort(nodes.begin(), nodes.end());  // 按出栈时间戳倒序排序

    for (const auto& [id, _] : nodes) {
        if (!visited[id]) {
            ++sccCount;
            dfs(reverseGraph, visited, outTimes, id, time);
        }
    }

    return sccCount;
}

int main() {
    vector<vector<int>> graph{{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {2, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 4}};
    cout << getSCC(graph) << endl;  // 输出2
    return 0;
}

该代码片段采用了DFS和图的反向来实现。时间复杂度为O(V+E)，其中V和E分别表示节点数和边数。