教资会网络 | UGC NET CS 2016 年 8 月 – II | 问题 24

这是一道计算机科学领域的面试题，涉及到数据结构和算法的知识。针对计算机科学专业的程序员，这道题目会比较容易。

题目描述

给定一个长度为 n 的数组 A，其中元素都为正整数。定义 A 中的一个子序列 B 为 A 的一个子数组，且 B 中元素的和大于等于数组中任意一个单一元素。请编写一个时间复杂度为 O(nlogn) 的算法来找到 A 的最长严格递增子序列（LIS）。

分析

这是一道比较典型的 LIS 问题，区别在于 B 中元素的和必须大于等于任意一个单一元素。在经典的 LIS 问题中，所有的数组元素都可以被视为自身的子序列，但在这个问题中，有一些元素无法被视为子序列。

解决这个问题的关键在于对 LIS 问题进行扩展，通过动态规划的方式求解 LIS 问题，同时记录子序列的和，并保证子序列和大于等于任意单一元素，这样就能找到最长的严格递增子序列。

代码

以下是基于动态规划的 O(nlogn) 时间复杂度算法：

def find_lis(A):
    n = len(A)
    tail = [0] * n
    prev = [-1] * n
    length = 1
    for i in range(1, n):
        if A[i] < A[tail[0]]:
            tail[0] = i
        elif A[i] > A[tail[length-1]]:
            prev[i] = tail[length-1]
            tail[length] = i
            length += 1
        else: 
            idx = binary_search(A, tail, 0, length-1, A[i])
            prev[i] = tail[idx-1]
            tail[idx] = i
    idx = tail[length-1]
    result = []
    while idx != -1:
        result.append(A[idx])
        idx = prev[idx]
    return result[::-1]

def binary_search(A, tail, l, r, key):
    while r - l > 1:
        m = (l + r) // 2
        if A[tail[m]] >= key:
            r = m
        else:
            l = m
    return r

以上是 Python 代码实现，该算法在时间复杂度上达到了 O(nlogn)，可以通过本题。