门 | GATE-CS-2003 | 问题15

本文将介绍 GATE-CS-2003 中的问题15，该问题主要涉及有向图中两个节点之间的最短路径问题。

问题描述

给定有向图 $G=(V,E)$，其中每个边 $(u,v)$ 都有一个权值 $w(u,v)$。同时，给定一个源节点 $s\in V$，需要求出从 $s$ 到图中所有其他节点的最短路径及其长度。

解决方案

本问题可以使用 Dijkstra 或 Bellman-Ford 算法来解决。

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法通过维护一个集合 $S\subseteq V$，其中的节点已经确定了从 $s$ 到其的最短路径。初始时，$S={s}$，并对所有节点 $v\in V\setminus{s}$，将其到 $s$ 的距离 $d(v)$ 初始化为正无穷。然后重复执行以下步骤：

1. 在 $V\setminus S$ 中选择一个距离 $s$ 最近的节点 $v$，即 $d(v) = \min{d(u)\mid u\in V\setminus S}$；
2. 将 $v$ 加入集合 $S$；
3. 对于所有以 $v$ 为起点的边 $(v,u)$，更新 $u$ 的距离 $d(u)$，即 $d(u) = \min{d(u), d(v) + w(v,u)}$。

最后得到的 $d$ 即为从 $s$ 到所有其他节点的最短距离。

Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O(|V|^2)$ 或 $O(|E|\log |V|)$，具体取决于使用何种数据结构对距离进行维护。

Bellman-Ford 算法

Bellman-Ford 算法通过对所有边进行 $|V|-1$ 轮松弛操作来求解最短路径。初始时，对所有节点 $v\in V$，将其到 $s$ 的距离 $d(v)$ 初始化为正无穷。然后重复进行 $|V|-1$ 轮松弛操作，每轮松弛操作遍历所有边 $(u,v)\in E$，并更新 $v$ 的距离 $d(v)$，即 $d(v) = \min{d(v), d(u) + w(u,v)}$。

若在进行所有轮松弛操作后仍有从 $s$ 可达的负环，则说明该图不存在从 $s$ 到其他节点的最短路径。

Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 $O(|V||E|)$。

总结

本文介绍了 GATE-CS-2003 中的问题15，即有向图中两个节点之间的最短路径问题。该问题可以使用 Dijkstra 或 Bellman-Ford 算法进行求解。Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O(|V|^2)$ 或 $O(|E|\log |V|)$，Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 $O(|V||E|)$。在实际应用中，需要根据具体问题场景选择合适的算法。