门 | GATE CS 1999 |问题14

该问题是 1999 年 GATE 计算机科学考试中的一个问题，涉及到电路设计和门电路。问题14如下：

在 $3$ 个 $2$ 输入 NOR 门和一个从输入 $x$ 和 $y$ 到达这些 NOR 门的 $2$ 输入 NAND门组成的电路中定义了一个复杂函数 $F(x,y)$. 以下是 $F(x,y)$ 的特性：

| $x$ | $y$ | $F(x,y)$ | |----|----|---------| | $0$ | $0$ | $1$ | | $0$ | $1$ | $0$ | | $1$ | $0$ | $0$ | | $1$ | $1$ | $0$ |

该电路应该如何实现？

解题思路

由题目所给出的 $F(x,y)$ 的真值表，可以得到如下的连通图：

根据电路中的 NOR 门功能可以推出其三个输入端口之中只要有一个为 $1$，那么输出端口就是 $0$。而 NAND 门功能则与 NOR 门相反，当其两个输入端口都为 $1$ 时，输出端口为 $0$。

根据这个知识点，我们可以在不同的 NAND 门输入端口之间设置不同数量的 NOR 门，以此来控制其输入，从而实现所需的结果。

在本题中，我们可以根据 NAND 门的基本定义将其表示为 NOR 门的输入的 NOT 输入。因此，我们可以将每个 NAND 门放入其独立的输出中，然后将其输入连接到 NOR 门中，从而创建整个电路。

电路分析

以下是根据所给条件生成的电路：

在上图中，输入端口 $x$ 和 $y$ 分别传递到电路的两个 NOR 门中。然后，它们的 NOT 值被送到相应的 NAND 门中。最后，它们的 NAND 门被与一个额外的 NAND 门相连。

所有这些 NAND 门的输出被发送到第三个 NOR 门中，这个 NOR 门是最终 NAND 门的输入。

代码实现

根据上述分析，我们可以将上面的电路用以下代码实现：

def nand_gate(a, b):
    return int(not(a and b))

def nor_gate(a, b):
    return int(not(a or b))

def F(x, y):
    not_x, not_y = nand_gate(x, x), nand_gate(y, y)
    a = nor_gate(x, not_y)
    b = nor_gate(not_x, y)
    c = nor_gate(a, b)
    return c

测试运行

上述实现代码可以通过以下代码进行测试：

test_cases = [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)]
results = [1, 0, 0, 0]

for i, test_case in enumerate(test_cases):
    assert F(*test_case) == results[i]

结论

根据以上分析，我们可以得出一个实现由三个 $2$ 输入 NOR 门和一个 $2$ 输入 NAND 门组成的电路的函数。将其输入与上述真值表相联系，可得到需要的特性。

在实际工作中，这个知识点并不是非常常见。但是，理解基于 NOR 和 NAND 门的电路结构是非常重要的，因为这可以用于更大型的逻辑设计和其他类似的领域当中。