门|门 CS 1999 |问题 14

简介

这是一道来源于 门|门 CS 1999 的算法题，需要使用动态规划的思想解决。题目给定一些钥匙和门的信息，门有开关状态，每个钥匙可以开启特定的一些门。求最少需要携带哪些钥匙才能够打开所有门。

解题思路

根据题目所述，我们可以确定，这是一道典型的动态规划问题。具体来说，我们可以使用状态压缩和状压DP的思想，用一个长度为$N$ 的二进制数来表示钥匙的拥有情况。其中，$N$ 表示钥匙的种类数，为了便于处理，我们将该二进制数对应的十进制数记为 $S$。

对于每个门，设该门所需的钥匙种类为 $k$，如果该门处于开启状态，则对应一个包含 $k$ 个元素的钥匙集合 $K$；如果该门处于关闭状态，则记 $K=∅$。因此，我们需要记录两个状态，即当前所持有的钥匙集合 $T$ 和门的开关状态 $D$。因此，设 $dp(i,j,k)$ 表示在处理完前 $i$ 所有门的情况下，手上有钥匙集合为 $j$，当前门打开状态为 $k$（开门状态为 $1$，关门状态为 $0$）时，从开始到 $i$ 所有需要的钥匙集合的最小值。 $$dp(i,j,k)=\min(dp(i-1,j',k')+num(i,j))$$

其中，$j'$ 表示转移时所需携带的钥匙集合，为当前集合 $j$ 和门集合 $K$ 的并集，即 $j'=j \cup K$。$k'$ 表示此时门的开启状态，如果拥有钥匙集合 $j'$ 能够打开该门，则 $k'=1$，否则 $k'=0$。$num(i,j)$ 表示拥有钥匙集合 $j$ 能否打开当前门，如果能够打开，则 $num(i,j)=0$，否则 $num(i,j)=\infty$。

代码实现

# 示例代码
n, m, s = map(int, input().split())
key = [0] * m
for i in range(m):
    a, b = map(int, input().split())
    for j in list(map(int, input().split())):
        key[i] |= (1 << j - 1)
door = [0] * s
for i in range(s):
    c, d = map(int, input().split())
    door[i] = [int(i) for i in input().split()[1:]]
INF = 0x3f3f3f3f
dp = [[[INF] * 2 for j in range(1 << n)] for i in range(s + 1)]
dp[0][0][1] = 0

for i in range(1, s + 1):
    for j in range(1 << n):
        for k in range(2):
            if dp[i - 1][j][k] != INF:
                dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1], dp[i - 1][j][k])
                for x, y in enumerate(key):
                    if j & y:
                        j2 = j
                    else:
                        j2 = j | y
                    nk, nd = k, 0
                    for d in door[i - 1]:
                        if d == x + 1:
                            nd = 1
                            break
                    if nk == 1 and nd == 0:
                        dp[i][j2][nd] = min(dp[i][j2][nd], dp[i - 1][j][k] + 1)
                    else:
                        dp[i][j2][nd] = min(dp[i][j2][nd], dp[i - 1][j][k])
ans = dp[s][(1 << n) - 1][1]
if ans == INF:
    print(-1)
else:
    print(ans)

总结

该算法充分体现出了动态规划的思想，通过建立不同的状态，记录过程中所用到的所有信息，最后得到满足条件的最优解。形式各异的动规问题具有类似的思想，熟练掌握动态规划技巧，能够使我们快速地理解和解决其他的相似问题。