门| GATE CS 2019 |问题 11

本题涉及到网络流问题，其中用到了Dinic算法。

问题

有一个图 $G=(V,E)$，其中 $V={s,t,v_1,v_2,\dots,v_n}$，$s$, $t$ 分别为源点和汇点，边权均为正整数。边 $(s,v_i)$ 和 $(v_i,t)$ 的容量为 $1$，对于所有的 $i=1,2,\dots,n$，而对于其他边 $(u,v)$ 的容量为无穷大。设计一个求 $s$ 到 $t$ 的最大流的算法，并给出最大流算法的运行时间复杂度。

解法

根据题意，我们可以建立一个 $s-t$ 割，割集为 $(s,V\backslash{t})$。由于 $(s,v_i)$ 和 $(v_i,t)$ 的容量为 $1$，因此 $s$ 到 $t$ 的最大流的值为 $n$。我们可以通过求最小割的值，即割集 $(S,V\backslash S)$ 的容量之和来进行验证。

要求 $s$ 到 $t$ 的最大流，其实就是求最小割。因此，我们可以使用网络流算法求解。

Dinic算法是一种高效的求解最大流的算法，其时间复杂度为 $O(V^2E)$。具体实现方式如下：

1. 初始化最大流 $maxFlow$ 为 $0$。
2. 反复执行以下步骤直到不再存在增广路径：
   1. 通过BFS或者DFS算法，从源点 $s$ 开始，寻找增广路径。
   2. 计算增广路径上的瓶颈容量 $bottleneck$。
   3. 将增广路径上的每一条边的流量加上 $bottleneck$，同时将反向边的流量减去 $bottleneck$。
   4. 将 $bottleneck$ 与最大流 $maxFlow$ 相加。

在该算法中，我们使用增广路径来更新流量，每条增广路径都会贡献一个单位的最大流。因此，在最坏情况下，Dinic算法需要执行 $O(n)$ 次增广路径，其中每次增广路径的寻找都需要 $O(E)$ 的时间复杂度。因此，Dinic算法的时间复杂度为 $O(nE)$。由于图中存在 $O(E)$ 条边和节点，因此总的时间复杂度为 $O(E^2)$ 或 $O(V^2E)$。

需要注意的是，当输入图的边权为实数时，Dinic算法的求解时间复杂度会变为 $O(E^2\sqrt{V})$。但是对于本题来说，边权为正整数，因此没有必要使用花费流算法进行求解。

参考文献

• Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to algorithms (3rd ed.). The MIT Press.