图论-可遍历性

什么是图论？

在计算机科学和数学领域中，图论是研究图的性质和关系的一门学科。图是由节点和边组成的结构，节点表示对象，边表示两个节点之间的关系。

什么是图的可遍历性？

图的可遍历性是指从图中的一个节点出发，是否能够遍历到所有节点。如果可以遍历到所有的节点，则称该图是可遍历的；如果不能遍历到所有的节点，则该图是不可遍历的。

图的遍历方式

图的遍历方式有两种：深度优先搜索和广度优先搜索。

深度优先搜索

深度优先搜索是从一个起点出发，尽可能地沿着一条路走到底，然后再回溯到前一个节点，尝试走另外一条路。以下是一个深度优先搜索的实现代码：

def DFS(graph, start, visited):
    # 标记节点为已访问
    visited.add(start)
  
    # 递归遍历与此节点相连的节点
    for next_node in graph[start] - visited:
        DFS(graph, next_node, visited)

广度优先搜索

广度优先搜索是从一个起点出发，先遍历与起点相邻的所有节点，再依次遍历这些节点的相邻节点。以下是一个广度优先搜索的实现代码：

from collections import deque

def BFS(graph, start):
    # 初始化队列并标记起点
    queue = deque([start])
    visited = set([start])

    while queue:
        # 取出队头节点并遍历相邻节点
        node = queue.popleft()
        for next_node in graph[node]:
            if next_node not in visited:
                visited.add(next_node)
                queue.append(next_node)

实例

以下是一个关于图的可遍历性的实例，假设有一个无向图如下所示：

我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来判断从节点1出发是否能够遍历到所有节点。使用深度优先搜索的代码如下：

graph = {
    1: {2, 3},
    2: {1, 4, 5},
    3: {1, 6},
    4: {2, 7},
    5: {2},
    6: {3},
    7: {4},
}

visited = set()
DFS(graph, 1, visited)

if len(visited) == len(graph):
    print("可以遍历到所有节点")
else:
    print("不能遍历到所有节点")

使用广度优先搜索的代码如下：

graph = {
    1: {2, 3},
    2: {1, 4, 5},
    3: {1, 6},
    4: {2, 7},
    5: {2},
    6: {3},
    7: {4},
}

BFS(graph, 1)

if len(visited) == len(graph):
    print("可以遍历到所有节点")
else:
    print("不能遍历到所有节点")

以上代码均可正确地输出“可以遍历到所有节点”。

总结

图论中的可遍历性是非常重要的一个概念，很多算法都是建立在此概念基础之上。深度优先搜索和广度优先搜索是图论中常用的遍历方式，相信通过本文的学习，读者已经掌握了这两种算法。