教资会网络 | UGC NET CS 2015 年六月 – II | 问题 34

本题涉及到图灵机和自动机等计算机科学基础知识。

题目描述

给定一个图灵机 $M$，定义其状态转移函数如下：

$\delta : Q \times \Gamma \rightarrow Q \times \Gamma \times {L,R}$

其中，$Q$ 为状态集合，$\Gamma$ 为与输入字符集合相关联的工作字符集合，${L,R}$ 表示向左或向右移动一格。此处采用多规则的方式，即对于每一个输入字符，都有一套对应的状态转移规则。这里输入的是一个字符串 $w = w_1 w_2 \dots w_n$，位置 $i$ 上的字符为 $w_i$。

现在定义一个自动机 $M'$，其状态转移函数定义如下：

$\delta': Q \times \Sigma \rightarrow 2^{Q \times (\Sigma \cup {\epsilon})}$

其中，$\Sigma$ 为输入字符集合，$\epsilon$ 表示空串。对于任意状态 $p \in Q$ 和任意输入字符 $a \in \Sigma$，存在 $(q_1, b_1), (q_2, b_2), \dots, (q_k, b_k), k \geq 0$ 使得 $(q_j, b_j) \in \delta'(p, a)$ 当且仅当 $\delta(p, a) = (q_j, b_j, L)$ 或 $\delta(p, a) = (q_j, b_j, R)$ 或 $\delta(p, a) = (q_j, b_j, N)$。其中，$N$ 表示不移动。

现在定义一个函数 $f : \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*$，其定义如下：

$f(w) = a_1 a_2 \dots a_n$

其中，对于任意 $i \in [1,n]$，有 $a_i \neq b$，并且 $b$ 是 $M'$ 的终止状态。

你需要写一个算法，利用图灵机 $M$ 和自动机 $M'$ 计算函数 $f$ 的输出 $f(w)$。

解题思路

本题要求使用图灵机和自动机来计算一个函数的输出，需要对于输入字符串 $w$ 按照规定的状态转移规则进行状态转移。

我们可以使用一个双向链表来表示当前的状态，同时使用两个指针 $p_l$ 和 $p_r$ 分别指向链表的最左端和最右端。每次进行状态转移时，根据当前位置上的字符和状态，从 $M'$ 中查找可以进行的状态转移规则。如果存在多个规则，则按照一定的优先级进行选择。

具体而言，我们可以先检查是否有可选的向左或向右移动的规则，在这种情况下可以采用 $M$ 中的对应规则进行状态转移。如果没有这样的规则，则查找是否有不移动的规则或者是转移到终止状态的规则，采用 $M'$ 中的对应规则进行状态转移。由于可能存在多个规则，因此我们可以采用广度优先搜索来进行遍历，同时使用一个哈希表来记录访问过的状态，防止重复遍历。

最终，如果当前位置上没有 $M'$ 中的终止状态，则输出的字符串即为 $f(w)$ 的值。

代码实现

def turing_machine(M, w):
    Q, Gamma, delta, q0, B, F = M
    p_l = p_r = Node(q0, B)
    visited = {p_l}
    queue = [(p_l, [])]

    while queue:
        p, path = queue.pop(0)

        # 按照优先级查找可行的状态转移规则
        for direction in ['L', 'R', 'N']:
            if direction == 'L' and p_l.pre:
                next_p = p_l.pre
                next_b = next_p.value
                next_dir = 'R'
            elif direction == 'R' and p_r.nxt:
                next_p = p_r.nxt
                next_b = next_p.value
                next_dir = 'L'
            else:
                q, b, dir = delta[p.value.get('state'), p.value.get('symbol')]
                next_p = Node(q, B if b is None else b)
                if dir == 'L':
                    if p_l.pre:
                        p_l = p_l.pre
                        p_l.nxt = next_p
                        next_p.pre = p_l
                    else:
                        p_l.pre = next_p
                        next_p.nxt = p_l
                        p_l = next_p
                    next_b = p_l.value
                    next_dir = 'N'
                else:
                    if p_r.nxt:
                        p_r = p_r.nxt
                        p_r.pre = next_p
                        next_p.nxt = p_r
                    else:
                        p_r.nxt = next_p
                        next_p.pre = p_r
                        p_r = next_p
                    next_b = p_r.value
                    next_dir = 'N'

            if next_p not in visited:
                next_visited = visited | {next_p}
                next_path = path + [(next_p, direction)]
                queue.append((next_p, next_path))
                visited = next_visited

            if next_p.value.get('state') in F:
                output = ''.join(next_b.get('symbol') for p, _ in next_path[:-1] for b in p.value)
                return output

    return ''

这里我们使用了一个 Node 类来表示双向链表中的每一个节点。同时，我们使用了一个字典来表示状态的值，包括当前状态和当前位置上的字符。变量 visited 记录了已经访问过的状态，变量 queue 记录了待遍历的状态队列。在遍历过程中，变量 p_l 和 p_r 分别代表链表的最左端和最右端，变量 path 记录了当前状态到达该状态的路径。

注意，在状态转移时，需要同时更新双向链表中的指针和节点的值。同时，由于可能存在多个规则，需要按照一定的优先级进行选择，例如优先选择向左或向右移动的规则。最终，输出的字符串即为 $f(w)$ 的值。