门 | GATE-CS-2003 | 第 88 题

介绍

此题是一道典型的图论问题，要求找出一个图中是否存在一条从起点到终点的路径，这条路径上每个点的出度和入度都相差为1或者0。这道题目体现了对于图的遍历和判断的基本要求，是程序员在处理图论问题时的重要练习。

题目描述

给定一个n个点m条边的有向图G和两个特殊的顶点s和t，请判断从s到t是否存在一条路径，这条路径上每个顶点的出度和入度都相差1或者0。

注意：在同一时刻，某一节点总的出度和入度可能会不同。

题目分析

首先，这是一道典型的图论问题，需要使用图的遍历算法来解答。其次，这道题目给出的限制条件是每个点的出度和入度的差异，这里有两点要注意：

• 节点的出度和入度之和的奇偶性需要相同，这样每个节点的出度和入度的差异才会是1或0
• 在图的遍历过程中，需要记录每个节点的入度和出度，便于后续的判断

接下来有两种解法可以使用：

解法一：深度优先搜索

• 根据题目要求记录每个节点的入度和出度，使用一个长度为n的二元组数组进行记录，元组中的第一项表示入度，第二项表示出度
• 以起点s为起始点，进行深度优先遍历图，如果在递归过程中发现当前节点已经访问过，则返回false
• 递归遍历过程中，需要把当前节点的出度和入度统计，如果当前节点的出度和入度的差异超出了1，则返回false
• 遍历到终点t时，如果此时的总出度和总入度差异小于等于1，说明找到了符合条件的路径，返回true，否则返回false

该算法的时间复杂度为O(m+n)，空间复杂度为O(n)

解法二：广度优先搜索

• 根据题目要求记录每个节点的入度和出度，使用一个长度为n的二元组数组进行记录，元组中的第一项表示入度，第二项表示出度
• 以起点s为起始点，进行广度优先遍历图，记录每个节点的以s为起点的到达距离
• 遍历过程中，如果出现某个节点被访问过，需要比较之前记录的该节点到s的距离和当前节点到s的距离，如果当前节点到s的距离大于之前记录的距离，则返回false
• 遍历到终点t时，如果此时的总出度和总入度差异小于等于1，说明找到了符合条件的路径，返回true，否则返回false

该算法的时间复杂度为O(m+n)，空间复杂度为O(n)

代码实现

解法一：深度优先搜索

def dfs(graph, visited, degree, v, s, t):
    if visited[v] == True:
        return False
    visited[v] = True
    for i in range(len(graph[v])):
        u = graph[v][i]
        degree[u][0] += 1
        degree[v][1] += 1
        if not dfs(graph, visited, degree, u, s, t):
            return False
        degree[u][0] -= 1
        degree[v][1] -= 1
    if v != t and abs(degree[v][0] - degree[v][1]) > 1:
        return False
    return True

def is_gate_path(graph, s, t):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    degree = [[0, 0] for i in range(n)]
    degree[s][1] = 1
    degree[t][0] = 1
    return dfs(graph, visited, degree, s, s, t)

解法二：广度优先搜索

def bfs(graph, degree, visited, s, t):
    queue = [(s, 0)]
    visited[s] = True
    while queue:
        v, d = queue.pop(0)
        for i in range(len(graph[v])):
            u = graph[v][i]
            degree[u][0] += 1
            degree[v][1] += 1
            if visited[u] and d + 1 > degree[u][0]:
                return False
            if not visited[u]:
                visited[u] = True
                queue.append((u, d + 1))
        if v != t and abs(degree[v][0] - degree[v][1]) > 1:
            return False
    return True

def is_gate_path(graph, s, t):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    degree = [[0, 0] for i in range(n)]
    degree[s][1] = 1
    degree[t][0] = 1
    return bfs(graph, degree, visited, s, t)

总结

本题是一道典型的图论问题，需要掌握图的遍历算法，并对问题的特殊限制进行相应的处理。可以使用深度优先搜索或广度优先搜索两种解法，时间和空间复杂度均为O(m+n)。在程序实现时，需要注意记录每个节点的入度和出度，以及在搜索过程中进行相应的限制条件判断。