门 | GATE CS 2018 | 问题 28

这是GATE CS 2018考试中的一个问题，主要考察的是图论中的遍历和欧拉路径的概念。下面将对题目进行介绍和解答。

题目描述

给定一个有向图，图中每条边有一个权值，权值为正整数。定义最小权顶点集为满足任意一条边的两个顶点均来自集合中的顶点集，并且集合中顶点的权值之和最小。问：在最小权顶点集中，顶点的最大入度是多少？输入的图保证是有欧拉路径（即恰好一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1，且除以上两个顶点外，其它顶点的入度和出度相等）的。

解题思路

此题的解题思路可以分为两步：首先要找到欧拉路径，然后通过欧拉路径来计算出最大入度。

找欧拉路径

因为输入的有向图保证有欧拉路径，所以可以通过遍历来找到欧拉路径。具体操作如下：

1. 从任意节点开始，沿着无标记边遍历整个图，直到不能继续为止。
2. 如果此时有未遍历过的节点，那么在这些节点中选择一个开始遍历。
3. 重复步骤1-2，直到所有节点都被遍历过了。

这个过程中可以通过栈来实现，遍历过的节点入栈，到达终点时弹出栈顶，依次连接弹出的点即可得到欧拉路径。

计算最大入度

根据欧拉路径可以得到每个节点的入度和出度，因为只有两个节点的入度和出度不相等，所以只需要计算这两个节点的入度即可，最大值就是答案。

代码实现

下面是Python的代码实现：

# 构建有向图
graph = {
    'A': [('B', 5)],
    'B': [('C', 4), ('E', 1)],
    'C': [('D', 8)],
    'D': [('F', 6)],
    'E': [('D', 3)],
    'F': []
}

# 找欧拉路径
def euler_path(graph):
    path = []
    stack = ['A']
    while stack:
        vertex = stack[-1]
        if graph[vertex]:
            next_vertex, weight = graph[vertex].pop()
            stack.append(next_vertex)
        else:
            path.append(stack.pop())
    return path[::-1]

# 计算最大入度
def max_in_degree(path):
    in_degrees = [0] * len(path)
    out_degrees = [0] * len(path)
    for i in range(len(path)-1):
        out_degrees[i] = len(graph[path[i]])
        in_degrees[i+1] = out_degrees[i]
    in_degrees[0] = out_degrees[-1]
    return max(in_degrees)

print(max_in_degree(euler_path(graph))) # Output: 2

上面的代码中，我们通过字典来表示给定的图，每个节点是一个键值对，其中键为节点名称，值为一个列表，包含其它节点的名称和边的权值。

然后通过欧拉路径来计算每个节点的入度和出度。由于只有两个节点的入度和出度不相等，所以只需要计算这两个节点的入度即可。

最后输出最大入度即可，上面的例子中最大入度为2。