门 | GATE-CS-2001 |问题 21

本题是一道关于图论中的最小割算法的题目。

在图论中，最小割是指如果将一个无向图中割成两部分，那么穿过该割的最少的边数称为最小割。现在有一个图，你需要找到它的最小割。

在这个问题中，我们可以使用 Karger 算法来解决问题。Karger 算法是一种用于解决无向图最小割问题的随机算法。

以下是 Karger 算法的步骤：

1. 选择一个未被合并的顶点 u。
2. 随机选择 u 的一个相邻顶点 v。
3. 合并 u 和 v，即将所有与 v 相邻的点都连接到 u 上。
4. 删除顶点 v。

重复步骤 1 至 4，直到图中只剩下两个节点，这两个节点之间的所有边便为最小割。

接下来是该算法的 Python3 代码实现：

def min_cut(graph):
    if len(graph) <= 2:
        return None
    
    while len(graph) > 2:
        u, v = random.choice(list(graph.keys())), None  # 选择 u
        while not v:  # 随机选择 v
            v = random.choice(graph[u])
        contract(graph, u, v)  # 合并 u 和 v，即执行步骤 3 和 4
    
    return len(list(graph.values())[0])

# 辅助函数，用于合并两个节点
def contract(graph, u, v):
    for node in graph[v]:
        if node != u:
            graph[node].remove(v)
            graph[node].append(u)
            graph[u].append(node)
    del graph[v]

该代码的时间复杂度为 O(n^2)。

注意到在 Karger 算法中，算法迭代的次数与图的大小无关，而只与最小割的大小有关。

因此，为了提高算法的准确性，我们可以多次执行 Karger 算法，取最小割中的最小值作为最优解。

更详细的讲解可以参考 Karger算法之最小割问题。