门 | GATE-CS-2001 |问题 17

本问题是 GATE-CS-2001 中的一道题目，涉及到数据结构。具体题目描述如下：

给定一个大小为 n 的数组 A，元素均为正整数。定义“若一组(i,j,k)满足 0<=i<j<k<n 且 A[i] + A[k] = 2A[j]，则称该组(i,j,k)是等差的”。请设计一个时间复杂度为 O(n**2) 的算法，判断给定数组中是否存在等差组。

解题思路

我们可以用三个指针 i，j，k 来寻找等差组。首先，我们将 j 指针从 1 开始递增。当 j 指针递增到 2 时，我们可以让 i 指针从 0 开始递增，k 指针从 j+1 开始递增，寻找是否存在 A[i] + A[k] = 2A[j] 的情况。如果存在等差组，我们就返回 True，否则继续递增 j 指针，直到 j 指针递增到 n 的位置。

Python 代码如下：

def is_arithmetic(arr):
    n = len(arr)
    for j in range(1, n-1):
        i, k = 0, j+1
        while k < n:
            if arr[i] + arr[k] == 2 * arr[j]:
                return True
            elif arr[i] + arr[k] < 2 * arr[j]:
                k += 1
            else:
                i += 1
    return False

复杂度分析

上述算法的时间复杂度为 O(n2)，因为我们需要两重循环来寻找等差组。具体来说，外层循环需要执行 n-2 次，即 j 指针需要递增 n-2 次。对于每个 j，我们需要使用内层循环来寻找等差组，内层循环需要执行 (n-j) 次，因为我们需要递增 i 指针和 k 指针直到 k 指针等于 n。因此，总时间复杂度为 O(n2)。

总结

本题目中考察了时间复杂度为 O(n**2) 的算法设计。需要掌握基本的指针操作，同时了解复杂度的计算方法。