八类RD Sharma解法–第17章-了解形状的特殊四边形–练习17.2 |套装2

简介

本文介绍了RD Sharma的第17章中的一个重要主题——“了解形状的特殊四边形”，并讨论了其中的一个练习题17.2 |套装2。通过该练习，程序员可以掌握处理特殊四边形的技能，例如制作定比，交点图和相关角度。

练习描述

给定个梯形ABCD，其中AB和CD是它的平行边，P和Q是分别在AB和CD中，使得AP:PQ:QC = 1:2:1。证明线段PQ和线段BC平等。

解法

方法1：利用问题特征

给定梯形ABCD中的P，Q和其余部分，可以确定其对应的三角形AQP和CQP。通过假设PQ的长度为x，可以使用定比的性质来确定各个线段的长度：

​ AP = AB / 4

​ AQ = 2 x AP = AB / 2

​ QC = AB - AQ = AB / 2

​ CP = CD - QC = AB / 4

因此，在三角形APQ中：

​ AQ = 2 x AP = 2 / 4 x AB = AB / 2

​ PQ = x

​ APQ是等腰三角形，所以其角度等于30度。

在三角形CQP中：

​ QC = AB / 2

​ CP = AB / 4

​ PQ = x

​ CQP是等腰三角形，所以其角度等于30度。

又因为三角形ABP和三角形CDQ是等腰三角形，所以角度APB = 180度 - 2 x 30度 = 120度，角度CQD = 180度 - 2 x 30度 = 120度。

因此，在梯形ABCD中：

​ PB = AB - AP = 3 / 4 x AB

​ QD = CD - QC = 3 / 4 x AB

​ ∠1 = ∠BAP + ∠APB = 60度 + 120度 = 180度

​ ∠2 = ∠CQD + ∠DQC = 60度 + 120度 = 180度

由此可知，三角形APQ和三角形BCD是相似的。因此：

​ PQ / BC = AQ / BD

代入上述长度：

​ x / y = (AB / 2) / (AB + AB / 4)

​ x / y = 1 / 3

证毕。

方法2：制作定比

在单调性和相等性等方面使用定比，也是解决几何问题的一种流行方法。

建立坐标系，以A为原点，将AP作为x轴正半轴。让AP的长度等于1，因此BP = 3，CQ = 2。

设BC = kx，则CD = (2 + k)x，DQ = BC - 2 = (k - 2)x。根据相似三角形的比例关系，可组成方程式：

BC / AP = CQ / AQ

kx / 1 = 2 / 3(x + kx) （因为CQ / AQ = 2 / 3）

解上述方程得

k = 3，即BC = 3AP = PQ

证毕。

结束语

本练习涉及定比，相似三角形和等腰三角形等几何角度的概念。这里提供了两种解决方法，希望程序员可以通过本文获得关于这些概念的熟悉以及理解。给自己多一份应有的知识储备，才能在日常工作中更加得心应手。