门| GATE CS Mock 2018年|问题15

这是GATE计算机科学模拟考试2018年的第15个问题，是一道数据结构与算法的考察题目。

题目描述

给定一个有$n$个节点的有向图。每个节点都被染上了颜色，有红色、绿色、蓝色三种颜色中的一种（其中有些节点可能没有被染色）。你需要求出有多少种不同的三元组$(i,j,k)$，使得从节点$i$到节点$j$有一条红边，从节点$j$到节点$k$有一条绿边，从节点$k$到节点$i$有一条蓝边。

输入：$n$（节点数），$m$（有向边数）。接下来$m$行，每行描述一条形如$x\ y\ c$的边，表示从节点$x$到节点$y$有一条颜色为$c$的有向边，其中$c$可能是${'R', 'G', 'B'}$之一。

输出：一个整数，表示满足条件的三元组$(i,j,k)$的数量。

解题思路

此问题可以看成是一个三元环问题（即在一个有向图中找三个连通的点，使得第一个节点有一条红边到第二个节点，第二个节点有一条绿边到第三个节点，第三个节点有一条蓝边到第一个节点）。

那么我们可以使用 Floyd-Warshall 算法来解决该问题，时间复杂度为$O(n^3)$。该算法包含三部分：

1. 使用邻接矩阵构建图，并初始化矩阵$D$为无穷大（表示任意两个点之间没有路径），然后将图中的边加入矩阵$D$中；

2. 依次遍历所有的节点，对于任意的一对节点$i,j$，如果它们之间有边（即$D[i,j]\neq\infty$），则遍历所有节点$k$，如果$k\neq i,j$且$D[i,k]\neq\infty$且$D[k,j]\neq\infty$，则更新变量$count$（表示三元组的数量）；

3. 最后返回变量$count$。

简化的伪代码如下：

count = 0
for i in 1 to n:
    for j in 1 to n:
        if D[i, j] != INFINITY:
            for k in 1 to n:
                if k != i and k != j and D[i, k] != INFINITY and D[k, j] != INFINITY:
                    count++
return count

示例

输入：

4 6
1 2 R
2 3 G
3 1 B
2 4 R
3 4 B
1 3 G

输出：

1

总结

本题从题目描述即可确定出属于三元环问题，通过Floyd-Warshall算法可以轻松解决该问题。因此，考生在考试中应根据题目的描述、命题人的命题规律进行分析，并针对特定的算法进行准备。