GRE 测验 | GRE 定量 2 | 问题 12

本题是GRE定量推理题型中的一道，需要考生运用数学知识及逻辑推理能力，解决给出的问题。

问题描述

根据题干给出的条件，问是否存在一个正整数k，使得以下所有的式子都成立：

• $\frac{a + b}{k}$是整数
• $\frac{a - b}{k}$是整数
• $\frac{a + c}{k}$是整数
• $\frac{a - c}{k}$是整数

其中a、b、c都是正整数。

选项：

• A: 存在
• B: 不存在

解题思路

题目中给出的四个等式可以简化为$\frac{a}{k}$，$\frac{b}{k}$，$\frac{c}{k}$在当且仅当它们都是整数时成立。

因此，我们只需要证明存在一个正整数k，使得$\frac{a}{k}$，$\frac{b}{k}$，$\frac{c}{k}$这三个比率互为整数即可。

考虑a、b、c的最大公约数$d=gcd(a,b,c)$，且将a/b/c都除以d得到的新a/b/c都是互质的，即$gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d})=1$。

根据质数分解定理，$k=\frac{a}{d}\cdot \frac{b}{d}\cdot \frac{c}{d}$即为所求的k，因为$\frac{a}{k}$，$\frac{b}{k}$，$\frac{c}{k}$这三个比率互为整数。

因此，答案为A。

代码实现

# GRE 测验 | GRE 定量 2 | 问题 12

本题是GRE定量推理题型中的一道，需要考生运用数学知识及逻辑推理能力，解决给出的问题。

## 问题描述

根据题干给出的条件，问是否存在一个正整数k，使得以下所有的式子都成立：

- $\frac{a + b}{k}$是整数
- $\frac{a - b}{k}$是整数
- $\frac{a + c}{k}$是整数
- $\frac{a - c}{k}$是整数

其中a、b、c都是正整数。

选项：

- A: 存在
- B: 不存在

## 解题思路


题目中给出的四个等式可以简化为$\frac{a}{k}$，$\frac{b}{k}$，$\frac{c}{k}$在当且仅当它们都是整数时成立。

因此，我们只需要证明存在一个正整数k，使得$\frac{a}{k}$，$\frac{b}{k}$，$\frac{c}{k}$这三个比率互为整数即可。

考虑a、b、c的最大公约数$d=gcd(a,b,c)$，且将a/b/c都除以d得到的新a/b/c都是互质的，即$gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d})=1$。

根据质数分解定理，$k=\frac{a}{d}\cdot \frac{b}{d}\cdot \frac{c}{d}$即为所求的k，因为$\frac{a}{k}$，$\frac{b}{k}$，$\frac{c}{k}$这三个比率互为整数。

因此，答案为A。