门| GATE-IT-2004 |问题 11

这道题是GATE-IT-2004考试中的一道题目，主要考查了程序员对数据结构的掌握和实现的基本能力。

题目描述

考虑一个Queue数据结构，它支持如下操作：

• Q.is_empty()：检查队列是否为空，如果队列为空则返回True，否则返回False。
• Q.enqueue(x)：向队列中加入元素x。
• Q.dequeue()：取出并返回队列中的一个元素。如果队列为空，应该抛出一个异常QueueEmptyException。

现在需要基于该队列结构实现一个栈数据结构，要求该栈数据结构支持如下操作：

• S.is_empty()：检查栈是否为空，如果栈为空则返回True，否则返回False。
• S.push(x)：将元素x压入栈中。
• S.pop()：从栈中弹出并返回一个元素。如果栈为空，则应该抛出一个异常StackEmptyException。

请基于上述队列数据结构实现一个栈数据结构，并分析该算法的时间复杂度。

解题思路

根据题目描述，我们需要根据一个队列数据结构实现一个栈数据结构。由于队列数据结构中的元素只能通过队列的一端进入并从另一端出去，而栈数据结构中元素只能从顶端进出，因此我们需要借助两个队列来实现该算法。

具体来说，我们可以使用队列Q1和队列Q2来模拟栈。每当我们需要将元素x压入栈时，我们就将其插入队列Q1中；每当我们需要从栈中弹出一个元素时，我们将队列Q1中的所有元素依次弹出并插入到队列Q2中，直到队列Q1中只剩下一个元素，我们弹出该元素并返回，此时队列Q2中的元素按照它们在队列中排列的顺序恰好就是栈中剩下的元素了。

可以看出，使用该模拟算法实现栈的时空复杂度均为$O(n)$，其中$n$表示操作的次数。

代码实现

基于上述分析，我们可以按照以下方式实现栈的数据结构：

class QueueEmptyException(Exception):
    pass

class StackEmptyException(Exception):
    pass

class Stack:
    def __init__(self):
        self.q1 = []
        self.q2 = []

    def is_empty(self):
        return len(self.q1) + len(self.q2) == 0

    def push(self, x):
        self.q1.append(x)

    def pop(self):
        if self.is_empty():
            raise StackEmptyException
        while len(self.q1) > 1:
            self.q2.append(self.q1.pop(0))
        ret = self.q1.pop()
        self.q1, self.q2 = self.q2, self.q1
        return ret

在该实现中，我们首先定义了两个异常类QueueEmptyException和StackEmptyException，用于在队列为空或栈为空时抛出异常；在类初始化时，我们定义了两个队列q1和q2，用于模拟栈的进出操作；在is_empty()方法中，我们计算了q1和q2中元素的总数，如果总数为0，则返回True，否则返回False；在push(x)方法中，我们将元素x加入到队列q1的末尾；在pop()方法中，如果栈为空，我们抛出异常StackEmptyException；否则，我们将队列q1中除了最后一个元素以外的所有元素依次取出并加入到队列q2中，直到队列q1中只剩下一个元素。此时，我们将该元素取出并返回，并将队列q1和队列q2对调，以便后续操作。可以看出，该实现中每个操作都可以在$O(1)$的时间内完成，因此算法的总时间复杂度为$O(n)$。

总结

本题主要考查了程序员对于数据结构的掌握和实现的基本能力。在实现基于队列的栈数据结构时，我们需要借助两个队列来模拟栈的进出操作。具体来说，我们将元素插入到队列q1中，每当需要从栈中弹出元素时，我们将队列q1中的所有元素依次取出并加入到队列q2中，直到队列q1中只剩下一个元素，我们将该元素取出并返回，同时将队列q1和队列q2对调，以便后续操作。由于该算法中每个操作均可在$O(1)$的时间内完成，因此该算法的时间复杂度为$O(n)$。