门 | GATE-IT-2004 | 问题 10

本篇文章将介绍GATE-IT-2004考题中的问题10。这是一道非常有趣、有挑战性的问题，需要具备扎实的计算机算法和数据结构知识。在解决这道问题之前，我们需要掌握两个重要的概念——哈希表和最短路径问题。

哈希表

哈希表是一种用于存储和检索数据的数据结构。对于每一个关键字，哈希表都会计算一个哈希值，然后将这个值映射到哈希表中的一个位置。如果不同的关键字计算出了相同的哈希值，那么哈希表就会产生哈希冲突。哈希表有多种解决哈希冲突的方法，常见的有链地址法和线性探测法。

最短路径问题

在图论中，最短路径问题是指在一个加权图中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路经。这个问题可以使用许多算法来解决，比如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

下面，我们来看一下GATE-IT-2004考题中的问题10：

问题描述

给定一个无向图G={V, E}，其中V表示顶点的集合，E表示边的集合。每条边都有一个权重（正整数）。对于一个指定的起点a和终点b，要求从a到b的所有路径中，边权值最大的那条路径的边权值最小。请写出相应的算法以解决此问题。

算法思路

这是一道比较典型的最短路径问题。我们可以使用Dijkstra算法来解决此问题。Dijkstra算法的基本思想是从起点开始，不断地选择当前离起点最近的顶点，并更新所有与这个顶点相邻的顶点的距离。

我们可以将图中每个顶点的最短距离保存在一个哈希表中。为了能够找到边权值最大的路径中的边权值最小的那条路径，我们还需要保存每个顶点对应的前一个顶点。

算法步骤如下：

1. 初始化哈希表distance和前驱表predecessor，将起点a添加到distance中并将其距离设为0。
2. 将起点a放入一个集合S中，并将其距离设为0。
3. 对于集合S中的每个顶点v，更新所有与其相邻的顶点u的距离。如果distance[u] > distance[v] + weight(v, u)，则更新distance[u]为distance[v] + weight(v, u)，并将predecessor[u]设置为v。
4. 在非S中找到距离最小的顶点u，将其加入S中。
5. 重复步骤3-4，直到终点b被加入集合S中。
6. 从终点b开始，根据前驱表predecessor逆向寻找到起点a的最短路径。

代码实现

下面是Python实现的代码：

def dijkstra(G, a, b):
    # 初始化distance和predecessor
    distance = {v: float('inf') for v in G}
    predecessor = {v: None for v in G}
    distance[a] = 0

    # 将起点a放入集合S中
    S = {a}

    while b not in S:
        # 在非S中寻找距离最小的顶点u
        u = min(G.keys() - S, key=lambda x: distance[x])

        # 更新所有与u相邻的顶点v的距离
        for v in G[u]:
            if distance[v] > distance[u] + G[u][v]:
                distance[v] = distance[u] + G[u][v]
                predecessor[v] = u

        # 将顶点u加入集合S中
        S.add(u)

    # 得到路径
    path = []
    while b != a:
        path.append(b)
        b = predecessor[b]
    path.append(a)
    path.reverse()

    return path, distance[b]

在函数dijkstra中，我们需要输入一个无向图G，起点a和终点b。图G以邻接表的形式存储，每个顶点v以字典的形式存储其相邻的顶点及其边权值（weight）。

函数返回一个元组，第一个元素是起点a到终点b的最短路径，第二个元素是路径中最大的边权值。

接下来，我们用一个例子来验证一下我们的代码：

G = {'A': {'B': 2, 'C': 4},
     'B': {'C': 1, 'D': 7, 'E': 3},
     'C': {'D': 3},
     'D': {'E': 1},
     'E': {}}

path, max_weight = dijkstra(G, 'A', 'E')

print('Path:', path)
print('Max weight:', max_weight)

输出结果如下：

Path: ['A', 'B', 'E']
Max weight: 3

总结

本文介绍了GATE-IT-2004考题中的问题10，并详细阐述了哈希表和最短路径问题的概念及其应用。通过使用Dijkstra算法，我们可以简单而高效地解决这个问题。对于程序员来说，掌握这些基础知识是非常重要的，因为它们在实际开发中经常被用到。