从等式中消除 theta：tan θ – cot θ = a 和 cos θ + sin θ = b

在数学问题中，我们有时需要将一个等式中的未知量消除，以得到更简单的表达式。例如，将 tan θ 和 cot θ 消除后，就可以得到只包含 sin θ 和 cos θ 的等式。在本题中，我们要消除的未知量是 theta，而等式中包含了 tan θ，cot θ，sin θ和cos θ四个函数。如果直接进行代数运算，很难将这些函数消除，因此我们可以采用代数和几何的方法结合，通过几何图像来解决问题。

代数方法

首先，我们可以将tan θ 和 cot θ 用 sin θ 和 cos θ 表示出来，得到以下等式：

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = a$$

接着，将两边通分，得到：

$$\frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\cos\theta\sin\theta} = a$$

将 cos θ 和 sin θ 表示出来，得到：

$$\frac{1-\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos\theta\sin\theta} = a$$

由于 $1-\cos^2\theta - \sin^2\theta = 0$，所以上式可以简化为：

$$0 = a\cos\theta\sin\theta$$

因此，我们可以得到以下两个等式：

$$\cos\theta = 0$$

$$\sin\theta = 0$$

根据正弦函数和余弦函数的图像，我们可以知道在哪些角度下，cos θ = 0，sin θ = 0。进一步，我们可以利用三角函数的周期性，将这些角度一般化表示。最终，我们可以得到关于 theta 的解：

$$\theta_{n, 1} = \frac{(n+\frac{1}{4})\pi}{2}$$

$$\theta_{n, 2} = \frac{(n+\frac{3}{4})\pi}{2}$$

其中，n 为任意整数。

几何方法

根据题目，我们可以将两个等式视为平面直角坐标系中的两条直线：

$$y_1 = \tan\theta - \cot\theta = \frac{\sin^2\theta-\cos^2\theta}{\cos\theta\sin\theta}$$

$$y_2 = \sin\theta + \cos\theta$$

如果将每个角度都代入上述公式进行计算，可以得到相应的坐标点 (x, y)。这些点组成的图像如下所示：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

theta = np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
y1 = np.tan(theta) - np.cos(theta)/np.sin(theta)
y2 = np.sin(theta) + np.cos(theta)

plt.plot(theta, y1, label='tan θ - cot θ')
plt.plot(theta, y2, label='cos θ + sin θ')
plt.legend()
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.ylim(-10, 10)
plt.show()

从图像中我们可以看出，两条直线交于多个点，每两个相邻的点之间的距离为 $\pi$。因此，我们可以将这些点位置进行表示：

$$\theta_{n, 1} = \frac{(n+\frac{1}{4})\pi}{2}$$

$$\theta_{n, 2} = \frac{(n+\frac{3}{4})\pi}{2}$$

这与我们求解代数解法中得到的结果相同。

以上两种方法得到的结果都是正确的，我们可以选择适合自己的方法进行计算。