第 11 类 RD Sharma 解决方案 - 第 18 章二项式定理 - 练习 18.2 |设置 3

简介

RD Sharma 是印度著名数学家，他编写的数学教材系列被广泛使用于国际和印度的学校。第 11 类 RD Sharma 解决方案是 RD Sharma 教材第 11 类的解决方案。本文为第 18 章二项式定理 - 练习 18.2 的第三题的解决方案，提供了详细的解题思路和步骤。

题目描述

证明 $(1+x)^n > 1+nx$，当 $n > 1$ 且 $x > 0$。

解题思路

我们可以通过归纳法来证明此题。

对于 $n=2$ 的情况，$(1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x$，因为 $x > 0$，所以 $(1+x)^2 > 1+2x$ 成立。

假设当 $n=k$ 时，$(1+x)^k > 1+kx$ 成立。

当 $n=k+1$ 时，我们有：

\begin{align*} (1+x)^{k+1} &= (1+x)^k(1+x)\ &> (1+kx)(1+x) && \text{根据归纳假设}\ &= 1+kx+x+kx^2\ &= 1+(k+1)x+kx^2 \end{align*}

当 $x > 0$ 时，$kx^2 > 0$，所以 $(1+x)^{k+1} > 1+(k+1)x$。

综上所述，通过归纳法，我们证明了当 $n > 1$ 且 $x > 0$ 时，$(1+x)^n > 1+nx$ 成立。

代码实现

题目描述

证明 $(1+x)^n > 1+nx$，当 $n > 1$ 且 $x > 0$。

解题思路

我们可以通过归纳法来证明此题。

对于 $n=2$ 的情况，$(1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x$，因为 $x > 0$，所以 $(1+x)^2 > 1+2x$ 成立。

假设当 $n=k$ 时，$(1+x)^k > 1+kx$ 成立。

当 $n=k+1$ 时，我们有：

$$
(1+x)^{k+1} = (1+x)^k(1+x) > (1+kx)(1+x) = 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x+kx^2
$$

当 $x > 0$ 时，$kx^2 > 0$，所以 $(1+x)^{k+1} > 1+(k+1)x$。

综上所述，通过归纳法，我们证明了当 $n > 1$ 且 $x > 0$ 时，$(1+x)^n > 1+nx$ 成立。