8级RD Sharma解决方案–第18章实用几何–练习18.5

8级RD Sharma解决方案书籍中，第18章的“实用几何”部分，练习18.5是关于“圆与三角形”的题目。这个练习要求学生掌握圆与三角形的几何关系，包括圆周角、圆内角、半角公式等内容。

本题是一道实用性很强的几何题目，可以帮助程序员加深对圆与三角形之间关系的理解，提高几何分析和解决问题的能力。

以下是对于这道题目的详细介绍和解答过程。

题目描述

已知圆$O$的半径为$r$，$AB$是圆上的弧，$\angle ACB$为圆心角，点$D$是圆上一点，$E$是$CD$的垂足，点$F$是$DE$的中点。证明$BF=CA$。

思路分析

首先，我们需要确定用到哪些几何公式。

设$\angle CEF$的度数为$\theta$。

根据题目条件有：

$\angle ACB=2\theta$（圆心角的度数等于其所对应的弧$AB$的度数的两倍）

因为$E$为$CD$的垂足，所以$\angle CED=90^\circ$。

因为$F$是$DE$的中点，所以$EF=\frac{1}{2}DE$。

从而，我们可以得到：

$\cos\theta=\frac{CE}{CD}$（余弦定理）

$\sin\theta=\frac{DE}{CD}$（正弦定理）

$DE=2EF$（$F$是$DE$的中点）

$CA=r$（圆$O$半径为$r$，$\triangle ABC$为等边三角形）

接下来，我们需要根据题目要求证明$BF=CA$。

证明过程

因为$F$是$DE$的中点，所以$BF=EF$。

所以我们只需要证明$EF=CA$。

将$EF$表示成$DE$的式子：

$EF=\frac{1}{2}DE$

$=\frac{1}{2}(\sqrt{CD^2-CE^2})$

根据余弦定理：

$CD^2-CE^2=DE^2$

代入上式：

$EF=\frac{1}{2}\sqrt{DE^2}$

$=\frac{1}{2}DE$

$=EF$

所以$BF=CA$。

代码片段

// 圆心角的度数等于其所对应的弧的度数的两倍
double angleACB = 2 * theta;

// 余弦定理
double cosineTheta = CE / CD;
double sinTheta = DE / CD;

// DE = 2 * EF
double EF = DE / 2;

// BF = EF
double BF = EF;

// CA = r
double CA = r;

// 证明 BF = CA
if (BF == CA) {
    cout << "BF = CA, 证明正确！" << endl;
} else {
    cout << "证明不正确！" << endl;
}

最后，我们使用上述公式并给出程序代码完成此题的解题过程，程序员可以根据具体情况选择使用C++、Java、Python等语言编写程序。