题目介绍

这是一道来自于 GATE-CS-2001 的编程题，题目编号为 48。该题目要求实现一个简单的联合查找算法并输出联通子集。

联合查找算法

联合查找算法也被称为并查集，是一种用来维护和查询元素之间相互关联关系的数据结构。它支持两种操作：合并两个元素所在的集合，并查找一个元素所在的集合。通过使用并查集，我们可以高效地解决一些棘手的算法问题，例如统计好友圈的个数、识别图像中的连通区域等。

题目要求

本题要求实现一个简单的联合查找算法并输出联通子集。具体而言，你需要实现以下函数：

def find_sets(n: int, pairs: List[Tuple[int, int]]) -> List[Set[int]]:
    pass

其中，n 表示元素的个数，pairs 表示元素之间的关联关系（即若 pairs 中包含了元组 (i, j)，则表示元素 i 和元素 j 是相互关联的）。你需要返回一个由 set 对象组成的列表，其中每个 set 对象表示一个联通子集。换而言之，如果 pairs 中包含了 (i, j)，且存在 (j, k)，则 i、j 和 k 都应该被归到同一个 set 对象中。

代码实现

下面是一份 Python 实现的参考代码。代码使用了路径压缩及基于秩的合并策略，以保证查询和合并操作的时间复杂度均为 $O(\alpha(n))$，其中 $\alpha(n)$ 是 Ackermann 函数的逆函数。

from typing import List, Set, Tuple

def make_set(x: int, parent: List[int], rank: List[int]) -> None:
    parent[x] = x
    rank[x] = 0

def find(x: int, parent: List[int]) -> int:
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find(parent[x], parent)
    return parent[x]

def union(x: int, y: int, parent: List[int], rank: List[int]) -> None:
    root_x, root_y = find(x, parent), find(y, parent)
    if root_x == root_y:
        return
    if rank[root_x] < rank[root_y]:
        root_x, root_y = root_y, root_x
    parent[root_y] = root_x
    if rank[root_x] == rank[root_y]:
        rank[root_x] += 1

def find_sets(n: int, pairs: List[Tuple[int, int]]) -> List[Set[int]]:
    parent = [-1] * n
    rank = [0] * n
    for i in range(n):
        make_set(i, parent, rank)
    for i, j in pairs:
        union(i, j, parent, rank)
    sets = {}
    for i in range(n):
        root = find(i, parent)
        if root not in sets:
            sets[root] = set()
        sets[root].add(i)
    return list(sets.values())

测试案例

下面是一些简单的测试案例：

def test_find_sets():
    pairs = [(0, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 5)]
    assert find_sets(6, pairs) == [{0, 1, 2}, {3, 4, 5}]

    pairs = [(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)]
    assert find_sets(5, pairs) == [{0, 1, 2, 3, 4}]

    pairs = [(0, 1), (2, 3), (4, 5), (0, 4), (0, 5), (1, 3)]
    assert find_sets(6, pairs) == [{0, 1, 3, 4, 5}, {2}]

如果一切正常，以上测试案例均应该能够通过。