求一个复数 a + bi 使得 a ² + b ²是无理数

实数和虚数结合形成复数。虚部 I (iota) 表示 -1 的平方根。复数的虚部是 i。 a + ib 是矩形或标准形式的复数的典型表示。例如，420 + 69i 是一个复数，其中 420 代表实部，69 代表虚部。

模数

当一个复数出现在图表上时，它的实部绘制在 x 轴上，虚部绘制在 y 轴上。假设如果数字由下图中的点 P 表示，三角形 OPA 和 OPB 都是直角的。显然，在直角三角形 POA 中，PO 是斜边； Oa 是底，Pa 是垂线。使用毕达哥拉斯定理，我们有：

OP ² = OA ² + PA ²

OP = $\sqrt{OA^2 + PA^2}$

复数的绝对值被视为其模数。它是实部和虚部平方和的平方根。在上述情况下，OP 是 z = a + ib 形式的复数的模，用 r 表示。

求一个复数 a + bi 使得 a ² + b ²是无理数。

解决方案：

An irrational number is the one which can be expressed in the form of a/b, where b ≠ 0, like √2, √3, etc.

Say we are given the complex number 1 + $\sqrt[3]{4}$.

Comparing this with the form a + ib, we have: 

a = 1, b = $\sqrt[3]{4}$

Now, a² + b² = $1^2 + (\sqrt[3]{4})^2$

= 1 + 4^2/3

Clearly, 4^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

类似问题

问题 1. 证明模数的平方$\sqrt[3]2i$是不合理的。

解决方案：

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 0, b = $\sqrt[3]2$

Now, a² + b² = $0^2 + (\sqrt[3]2)^2$

= 2^2/3

Clearly, 2^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

问题 2. 证明模数的平方$\sqrt[5]2i$是不合理的。

解决方案：

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 0, b = $\sqrt[5]2$

Now, a² + b² = $0^2 + (\sqrt[5]2)^2$

= 2^2/5

Clearly, 2^2/5 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

问题 3. 证明 3 + 的模的平方$\sqrt[3]2i$是不合理的。

解决方案：

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 3, b = $\sqrt[3]2$

Now, a² + b² = $3^2 + (\sqrt[3]2)^2$

= 9 + 2^2/3

Clearly, 2^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

问题 4. 证明模数的平方$4 + i\sqrt[3]8$是理性的。

解决方案：

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 4, b = $\sqrt[3]8$ = 2

Now, a² + b² = 4² + 2²

= 20

Clearly, 20 can be expressed in the form of a/b. Hence it is a rational number.

问题 5. 证明 10 + 模的平方$\sqrt[3]2i$是不合理的。

解决方案：

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 10, b = $\sqrt[3]2$

Now, a² + b² = $10^2 + (\sqrt[3]2)^2$

= 100 + 2^2/3

Clearly, 2^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.