GATE-CS-2006 Problem 14

这道题目要求我们给定一个逻辑表达式，求最少需要几个布尔变量，才能满足该表达式。需要注意的是，该表达式的每一个子句都可以看做一个布尔方程，由于我们可以通过布尔代数将布尔方程化简，因此可以考虑使用化简的方法解决这个问题。

一个常见的方法是使用奎因-麦克劳林展开，该方法可以将布尔方程转化为不同项的和式，从而方便进一步的化简。具体的过程可以参考这篇博客文章：Boolean algebra - Karnaugh Map Reduce, min terms, max terms, POS, SOP。

在确定了布尔方程的最简形式后，我们可以通过其包含的变量数来得到最少需要的布尔变量数。需要注意的是，符号数和变量数不一定相同，因为某些布尔变量可能可以表示为其他布尔变量的组合。

下面是一个Python实现的示例代码，其中使用了Sympy库来进行布尔代数的化简：

from sympy import *
from re import findall

def min_vars(expr):
  # 解析表达式，获得逻辑操作符和变量名
  operators = findall(r"[+*]", expr)
  operands = findall(r"[A-Z]", expr)
  
  # 根据逻辑操作符和变量名构建布尔表达式
  bool_expr = ""
  for i in range(len(operators)):
    bool_expr += operands[i] + " " + operators[i] + " "
  bool_expr += operands[-1]

  # 使用Sympy进行布尔代数化简，获得最简形式
  x, y, z = symbols('x y z')
  b = sympify(bool_expr)
  b_sop = simplify(b, form="dnf")  # 考虑合取范式
  b_pos = simplify(b, form="cnf")  # 考虑析取范式
  min_terms = min(len(disjuncts(b_sop)), len(conjuncts(b_pos)))
  
  return min_terms

该实现中使用了正则表达式来解析表达式的逻辑操作符和变量名。然后使用Sympy库的simplify()函数对表达式进行布尔代数的化简，分别考虑合取范式和析取范式的情况，最后得到最简形式，并计算其中的最小项数（即需要的布尔变量数）。

参考资料：

• Boolean algebra - Karnaugh Map Reduce, min terms, max terms, POS, SOP
• sympy.logic.boolalg.simplify