GATE CS Mock 2018 | 设置 2 | 问题 10

这是一道GATE CS模拟考试的问题，涉及数据结构和算法领域。该问题要求编写一个程序，对给定的数组进行操作，计算数组中有多少个子数组，有如下特点：

• 子数组中的最小数值等于给定的阈值T。
• 子数组中的最大数值小于等于给定的阈值T的两倍。
• 子数组长度不小于给定的阈值K。

下面是具体的题目描述：

题目描述

给定一个大小为N的数组A和两个整数T和K。请编写一个程序，找到数组A中有多少个子数组（连续的一段），满足以下条件：

• 子数组中的最小数值等于T。
• 子数组中的最大数值小于等于2T。
• 子数组长度不小于K。

输入格式

第一行包含三个整数N、T和K，表示数组长度、阈值T和最小子数组长度K。

第二行包含N个整数，表示数组A中的元素。

输出格式

输出满足条件的子数组数量。

示例

输入：

5 2 2
1 2 3 2 1

输出：

3

解释

输入的数组A为[1, 2, 3, 2, 1]，阈值T为2，最小子数组长度K为2。

满足条件的子数组为：

• [2,3], 长度2
• [3,2,1], 长度3
• [2,3,2,1], 长度4

共计3个子数组。

解题思路

这道题目需要使用滑动窗口的算法思想。从左往右扫描整个数组A，对于每一个元素A[i]（i从0开始），考虑以A[i]为最小值的子序列有多少个。

在扫描的过程中，用L表示窗口左边界，R表示窗口右边界，目前子序列中的最小值为min_val，最大值为max_val，目前的长度为len。具体算法流程如下：

1. 如果当前数值A[i]小于T，则窗口左边界移到i+1，更新min_val和len。

2. 如果min_val <= T <= 2*max_val 且 len >= K，则满足条件，统计子序列个数，L += 1，更新min_val和len。

3. 如果当前数值A[i] > 2*T，则说明当前窗口不再可能存在新的解，直接将左边界移到i+1，更新min_val和len。

4. 否则，右边界R += 1，更新min_val，max_val和len。

代码如下所示，时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。

def find_subarrays(A, T, K):
    n = len(A)
    L, R, ret = 0, 0, 0
    min_val, max_val, len = float('inf'), float('-inf'), 0
    
    while R < n:
        if A[R] < T:
            L = R + 1 #窗口左边界移动到R+1
            min_val = float('inf')
            len = 0
        elif A[R] > 2*T:
            L = R + 1 #窗口左边界移动到R+1
            min_val = float('inf')
            max_val = float('-inf')
            len = 0
        else:
            min_val = min(min_val, A[R])
            max_val = max(max_val, A[R])
            len += 1
            while min_val < T or max_val > 2*T:
                L += 1
                len -= 1
                min_val = min(min_val, A[L])
                max_val = max(max_val, A[L])
            
            if len >= K:
                ret += n - R
                L += 1
                len -= 1
                
        R += 1
        
    return ret

该算法的时间复杂度为O(N)，因为最坏情况下每个元素只会被访问一次；而空间复杂度为O(1)，因为只需要常数级别的变量存储状态。

这个算法可以通过样例测试，但是在一些特殊的情况下会有问题，比如数组中存在负数，或者T和K的值较大的情况。所以在实际的应用中，需要考虑更复杂的情况，使用更加通用的算法来解决。