门 | GATE CS Mock 2018年 | 问题10

这是GATE CS Mock 2018年中的第10个问题，它涉及到电路门与逻辑电路的实现。

问题描述

一个在逻辑电路中使用的门可以被定义为一个将多个输入信号转换为单个输出信号的电路元素。在计算机科学中，有多种类型的逻辑门，包括AND门、OR门、NOT门、NAND门、NOR门、XOR门和XNOR门。

GATE CS Mock 2018年中的第10个问题要求我们实现一个门电路，该电路可仅使用NOT、AND和OR门，并且具有以下特点：

• 用于计算3个二进制数字的和
• 输入由三个1位二进制数字X、Y和Z组成
• 输出给出这三个数字的和的二进制表示形式

思路与实现

在实现这个门电路之前，我们需要知道一些基础的逻辑门实现知识，例如NOT门、AND门和OR门。

NOT门

NOT门也称为反相器，它把输入的逻辑值取反，返回与输入不同的逻辑值。 NOT门是单输入单输出的门，其输出是输入的补码。

输入 | 输出 
-----|------
  0  |   1  
  1  |   0  

NOT门的逻辑符号可以用“~”表示。

AND门

AND门也称与门，它是一个二元逻辑门，返回两个逻辑值的乘积（即两个输入都为1时，才返回1）。AND门是2个输入和1个输出的门。

输入1 | 输入2 | 输出 
------|-------|------
  0   |   0   |   0  
  0   |   1   |   0  
  1   |   0   |   0  
  1   |   1   |   1  

AND门的逻辑符号可以用“∧”表示。

OR门

OR门也称或门，它也是一个二元逻辑门，返回两个逻辑值的和（即至少一个输入为1时，才返回1）。OR门是2个输入和1个输出的门。

输入1 | 输入2 | 输出 
------|-------|------
  0   |   0   |   0  
  0   |   1   |   1  
  1   |   0   |   1  
  1   |   1   |   1  

OR门的逻辑符号可以用“∨”表示。

实现

我们实现一个门电路，它可以使用NOT、AND和OR门来计算3个二进制数字的和。我们将3个数字表示为$X_2$, $Y_2$和$Z_2$，表示它们的二进制形式。

我们已知，要计算二进制数字的和，可以使用XOR门和AND门。因此，我们可以通过以下步骤来实现门电路：

1. 使用XOR门计算$X_2$和$Y_2$的和，再次使用XOR门将其与$Z_2$相加，这将给出二进制表示的答案的中间位。
2. 使用AND门计算$X_2$和$Y_2$，再次使用AND门计算$Y_2$和$Z_2$，以及使用AND门计算$X_2$和$Z_2$。这将给出进位到下一位的二进制表示数字（1或0）。
3. 使用OR门将中间位$A$和输入的进位$B$相加，这将给出二进制表示的答案的最高位。

因此，门电路的实现方式如下：

             ___________________________
            |XOR|			 __________
X_2 ---------|   |-------------|	 OR	|-------- sum_2
            |___|			 ----------

             ___________________________
            |XOR|			 __________
Y_2 ---------|   |-------------|	 AND	|-------- carry_1
            |___|			 ----------
 ___________			 __________
Z_2 ---------|   |-------------|	 AND	|-------- carry_2
            |___|			 ----------

 ___________			 ___________
carry_1 -----| OR|------------|   OR   |-------- sum_1
            |___|			 ---------
 ___________			 ___________
carry_2 -----| OR|------------|   OR   |-------- sum_0
            |___|			 ----------

sum_2, sum_1, sum_0: 输出的3位二进制数字
carry_1, carry_2: 进位到下一位的二进制数字

这个门电路实现了将3个二进制数字相加，并输出计算的二进制和。

总结

在实现逻辑电路时，我们需要知道基本的逻辑门的实现方式和它们的特征。通过使用这些基本的逻辑门和一些简单的计算，我们就可以实现更复杂的逻辑电路，用于执行高级计算和控制任务。