📅 最后修改于: 2023-12-03 15:28:37.387000 🧑 作者: Mango
这道题目考察了数学中的置换群和编程语言中的递归。
有一个长度为 $n$ 的 01 串 $A$，定义 $f(A)$ 为将 $A$ 中所有 0、1 互换并将其颠倒得到的 $n$ 位二进制数所对应的十进制数。
例如，假设 $A$ 是 001，颠倒之后得到 100，互换后得到 110（即 6），所以 $f(A) = 6$。
现在定义一个 01 串 $B$，满足：
求长度为 $n$ 的 01 串中有多少个满足上述定义的 $B$。
这道题目看起来很复杂，但实际上可以通过数学的方式简化问题。
因为 $f(A)$ 是将 $A$ 中的 0、1 互换并颠倒得到的值，因此与 $A$ 中的 0、1 的位置无关，只与 0、1 的数量有关。
设 $A$ 中有 $p$ 个 1 和 $q$ 个 0，则 $f(A) = 2^q \times \sum_{i=1}^{p}2^{i-1}$。
考虑将 $A$ 翻转得到 $B$，记 $B$ 中有 $p'$ 个 1 和 $q'$ 个 0，则 $f(B) = 2^{q'} \times \sum_{i=1}^{p'}2^{i-1}$。
因为 $f(B) > f(A)$，所以 $2^{q'} \times \sum_{i=1}^{p'}2^{i-1} > 2^q \times \sum_{i=1}^{p}2^{i-1}$。
移项得 $q' > q$ 或 $q' = q$ 且 $p' > p$。
因此我们只需要计算 $A$ 中有 $p$ 个 1 和 $q$ 个 0 时，有多少个长度为 $n$ 的 01 串满足 $q' > q$ 或 $q' = q$ 且 $p' > p$ 的条件即可。
考虑递归求解。
对于长度为 $1$ 的 01 串，无论如何都只有一种情况。
对于长度为 $n$ 的 01 串，可以考虑将其中一个位置翻转，有两种情况：
其中 $f(n)$ 表示长度为 $n$ 的 01 串中满足上述条件的个数。
因此可以得到递推式：
$$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$
转换一下，得到：
$$f(n+2) = f(n+1) + f(n)$$
可以使用递归或动态规划进行求解，其中递归时间复杂度为 $O(2^n)$，需要使用记忆化搜索优化；动态规划的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。
以下是 Python 语言的动态规划实现：
def count_permutations(n):
if n == 1:
return 2
if n == 2:
return 3
dp = [0] * (n + 1)
dp[1], dp[2] = 2, 3
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]
以上代码使用了列表 dp 维护中间结果，避免重复计算。时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。