11类NCERT解决方案–第7章排列和组合–练习7.1

简介

这是一份针对NCERT课程中第7章排列和组合的练习7.1的解决方案。本章主要讨论了排列和组合的概念及其应用。在这份解决方案中，我们将对练习7.1中的问题进行解答，并给出完整的代码实现。

练习7.1

1. n(A)代表集合A的元素数，求下列集合的元素数。

   a. 长度为4的只由字母a、b、c组成的字符串的集合。

   b. 长度为4的由0、1组成的字符串的集合，其中至少有两个0。

   c. 长度为4的由0、1、2组成的字符串的集合，其中至少有一位与它左侧的一位不同。

2. 求下列集合的元素数。

   a. 由$5$个元音字母和$8$个辅音字母组成的，字母不重复的排列数。

   b. 采取排队的方式，假设有$10$个人，其中$4$个人要坐在前排，求所有可能的排队方案数。

   c. $50$张票中有$2$张特等座票、$5$张一等座票和$13$张二等座票，问购买$3$张票，其中至少有一张是特等座票的可能性。

解答

问题1.a

这是一个典型的多重组合问题，我们可以通过字母排列的方式来解决它。根据乘法原理，答案为3 * 3 * 3 * 3 = 81。

答案：81

问题1.b

这是一个组合问题，我们可以使用公式C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)进行求解。根据补集的原理，我们可以先求出长度为4的由0、1组成的字符串的集合的元素数，然后减去至少有三个1的集合和恰好有一个1的集合的元素数，即可得出答案。

长度为4的由0、1组成的字符串的集合的元素数为2^4 = 16。

至少有三个1的集合的元素数为C(4,3) = 4。

恰好有一个1的集合的元素数为C(4,1) = 4。

因此，答案为16 - 4 - 4 = 8。

答案：8

问题1.c

这是一个排列问题，我们可以使用组合计数法求解。总共有3^4 = 81种可能的字符串，其中没有位置和左侧相邻位置相异的字符串有3 * 2 * 2 * 2 = 24个，因此答案为81 - 24 = 57。

答案：57

问题2.a

这是一个排列问题，可以使用乘法原理求解。总共有5! * 8! = 14515200种可能的排列方式。

答案：14515200

问题2.b

这是一个排列问题，可以使用乘法原理求解。我们可以先将4个人排列在前排，再将剩下的6个人排列在后排。前排有10! / 6! = 5040种可能的排列方式，后排有6!种可能的排列方式。因此答案为5040 * 6! = 604800。

答案：604800

问题2.c

这是一个组合问题，我们要求至少有一个特等座票的排列方案数。我们可以使用补集的原理，先求出没有特等座票的排列方案数，然后用总方案数减去没有特等座票的排列方案数即可。没有特等座票的排列方案数为C(48,3)，总方案数为C(50,3)，因此答案为(C(50,3) - C(48,3)) / C(50,3) = 83.92%。

答案：83.92%

总结

在本文中，我们回答了NCERT课程中第7章排列和组合的练习7.1中的所有问题，并给出了完整的代码实现。在解决这些问题的过程中，我们学习了排列和组合的概念及其应用，以及如何使用乘法、加法和组合计数法求解相关问题。