题目介绍

本题是门(GATE-CS-2007) 第 43 题，是一道面试常见的算法题，也是考察程序员能力的一道典型题目。

题目描述

给定一个正整数n，计算从1到n所有数的阶乘的结果的末尾为零的个数。

例子

例如，当n = 5时，从1到5所有数的阶乘为1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120。其中，末尾有1个零。因此，从1到5的所有数的阶乘结果的末尾有1个零。

要求

请实现一个函数count_trailing_zeros(n)，返回从1到n所有数的阶乘的结果的末尾为零的个数。

解题思路

要求从1到n所有数的阶乘的结果的末尾为零的个数。我们可以想到，当一个数字n的阶乘末尾有k个零时，说明n的阶乘是2的k次方和5的k次方的乘积。因此，我们可以将n的阶乘分解成p1的x1次方，p2的x2次方，……，pk的xk次方的形式，其中，pi是质数，xk是正整数。

对于2的k次方和5的k次方的乘积，我们只需要将对于n的阶乘中2和5的质因子进行分解，分别统计2和5的个数，取较小值为n的阶乘的末尾0的个数即可。

因为2的个数一定比5的个数多，因此我们只需要统计5的个数即可。具体实现可以使用循环递归的方法，求n!中有多少个5的因子即可。

解题代码

def count_trailing_zeros(n):
    count = 0
    while n >= 5:
        n //= 5
        count += n
    return count

总结

本题通过分解2和5的质因子实现了对于从1到n所有数的阶乘的结果的末尾为零的个数的统计，具有较好的时间、空间复杂度。