门| GATE-CS-2007 |第 50 题

这是GATE-CS-2007的第50题，题目中给出了一个有向图和一些约束条件，要求我们根据这些条件，判断是否有一个排列使得所有的约束条件都得到满足。

题目描述

给定一个包含 $n$ 个节点和 $m$ 条有向边的有向图 $G=(V,E)$，其中 $V={1,2,\ldots,n}$，并给出 $k$ 个约束条件 $(i,j)$，表示节点 $i$ 必须排在节点 $j$ 前面。判断是否存在一个 $V$ 的排列 $<$，即 $<$ 是 $V$ 的一个排列，满足对于所有 $(i,j)$，$i$ 在 $<$ 中出现在 $j$ 的前面。

算法分析

这是一个经典的有向图拓扑排序问题。我们可以使用 Kahn 算法或 DFS 来解决这个问题。

以下是 Kahn 算法的伪代码：

1. 对于每一个节点，统计它的入度
2. 创建一个队列，将所有入度为 0 的节点加入队列
3. 当队列非空时，出队一个节点 n 并遍历以 n 为起点的所有有向边 (n, m)
4. 对于每一个节点 m，将它的入度减一，如果入度变为 0，将它加入队列
5. 如果遍历了所有边后，有剩余节点没有被遍历，说明存在一个环
6. 否则，所有节点都被遍历过，说明存在一个拓扑排序

以下是 DFS 的伪代码：

1. 对于每一个节点，标记其状态为“未被访问”
2. 对于每一个未被访问的节点 n，执行 Visit(n)
3. Visit(n)
   3.1 标记节点 n 的状态为“已被访问”
   3.2 对于以 n 为起点的所有有向边 (n,m)，递归遍历节点 m
   3.3 将节点 n 加入一个列表
4. 列表中的节点顺序即为一个拓扑排序

代码片段

使用 Kahn 算法实现的 Python 代码：

def topological_sort(n, edges, constraints):
    # 初始化入度列表和邻接表
    indegrees = [0] * (n + 1)
    adj_list = [[] for _ in range(n + 1)]
    for (i, j) in edges:
        adj_list[i].append(j)
        indegrees[j] += 1
    
    # 将所有受到约束的节点连向一个虚拟的起点 0
    for (i, j) in constraints:
        adj_list[0].append(i)
        adj_list[j].append(0)
        indegrees[i] += 1
    
    # 执行 Kahn 算法
    queue = [i for i in range(n + 1) if indegrees[i] == 0]
    result = []
    while queue:
        n = queue.pop(0)
        result.append(n)
        for m in adj_list[n]:
            indegrees[m] -= 1
            if indegrees[m] == 0:
                queue.append(m)
    
    # 检查是否有环
    if len(result) != n + 1:
        return None
    
    # 去掉虚拟起点 0 并返回拓扑排序
    return result[1:]

使用 DFS 实现的 Python 代码：

def topological_sort(n, edges, constraints):
    # 初始化邻接表
    adj_list = [[] for _ in range(n + 1)]
    for (i, j) in edges:
        adj_list[i].append(j)
    
    # 执行 DFS
    visited = [False] * (n + 1)
    result = []
    def visit(n):
        if visited[n]:
            return
        visited[n] = True
        for m in adj_list[n]:
            visit(m)
        result.append(n)
    for i in range(1, n + 1):
        visit(i)
    
    # 检查是否有环
    if len(result) != n:
        return None
    
    # 将结果翻转并返回
    return result[::-1]

总结

这个有向图拓扑排序问题是一个非常经典的算法问题，Kahn 算法和 DFS 都可以解决这个问题。要注意的是，给出的约束条件是 $(i,j)$ 而不是 $(j,i)$，所以构建邻接表时需要注意方向。另外，使用 Kahn 算法时，需要将所有受到约束的节点连向一个虚拟的起点，才能保证算法的正确性。