第12类 RD Sharma解决方案 - 第20章定积分 - 练习20.5 | 设置2

本文介绍了RD Sharma第12类数学教材中第20章定积分中练习20.5的解决方案，设置2。

问题描述

计算以下定积分：

$$\int_{1}^{2} \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{(x-\sqrt{3})(x\sqrt{3}+1)} d x$$

解决方案

首先，我们将分母中的因式分解：

$$(x-\sqrt{3})(x\sqrt{3}+1)=x\sqrt{3}^{2}-\sqrt{3}+x=x^{2}-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-\sqrt{3}+x$$

$$=x^{2}+2x+\sqrt{3}-2 \sqrt{3} x -\sqrt{3}=\left(x^{2}+2 x+\sqrt{3}\right)-\left(2 + \sqrt{3}\right) x+\sqrt{3}$$

然后，我们将 $\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 转化为：

$$\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos (x) \cos \frac{\pi}{6} - \sin (x) \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x)$$

那么，我们现在有：

$$\int_{1}^{2} \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{(x-\sqrt{3})(x\sqrt{3}+1)} d x = \int_{1}^{2} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x)}{(x^{2}+2x+\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}} d x$$

现在，我们需要考虑使用部分分式法。首先，我们需要写出分母：

$$\frac{1}{(x^{2}+2x+\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}}$$

$$=\frac{1}{(x^{2}+2x+\sqrt{3})-\left[(2+\sqrt{3})x-\sqrt{3}\right]}$$

$$=\frac{1}{\left(x+\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$$

现在，我们可以使用变量代换，令：

$$x+\frac{2+\sqrt{3}}{2}=t \rightarrow d x=d t$$

因此，我们有：

$$\int_{1}^{2} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x)}{(x^{2}+2x+\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}} d x$$

$$=\int_{1+\frac{2+\sqrt{3}}{2}}^{2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} \sin \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{t^{2}-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} d t$$

现在，我们可以进行部分分式分解。我们需要将原函数 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x)}{(x^{2}+2x+\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}}$ 转化为：

$$\frac{A}{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}+\frac{B}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}$$

那么，我们需要解出 $A$ 和 $B$ 的值。我们有：

$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} \sin \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{t^{2}-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{A}{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}+\frac{B}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}$$

将协同乘以 $(t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right))(t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right))$，我们可以得到：

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} \sin \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) = A \left(t+\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) + B \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$$

当 $t=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ 时，我们可以解出 $A$ 的值为：

$$A=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$$

当 $t=\frac{-2-\sqrt{3}}{2}$，我们可以解出 $B$ 的值为：

$$B=\frac{\sqrt{3}+1}{4}$$

现在，我们可以将原函数写成部分分式的形式：

$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} \sin \left(t-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{t^{2}-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{4}}{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}+\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}$$

然后，我们可以把它代回到原定积分中：

$$\int_{1}^{2} \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{(x-\sqrt{3})(x\sqrt{3}+1)} d x = \int_{1+\frac{2+\sqrt{3}}{2}}^{2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{4}}{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}+\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)} d t$$

现在，我们可以使用对数函数的性质来化简这个积分。由于：

$$\ln |t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)|-\ln |t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)|=\ln \left|\frac{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}\right|$$

那么，我们可以写出：

$$\int_{1+\frac{2+\sqrt{3}}{2}}^{2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{4}}{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}+\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)} d t = \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln \left| \frac{t-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{t+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}\right| \Bigg|_{1+\frac{2+\sqrt{3}}{2}}^{2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}} $$

$$=\frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}-1-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}+1+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)} + \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln \frac{2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}-\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}{2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)}$$

$$= \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln \frac{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}{\frac{3+\sqrt{3}}{2}} + \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln \frac{1}{3+\sqrt{3}}$$

$$= -\frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln(2-\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln(3+\sqrt{3})$$

$$= \frac{-\sqrt{3}+1}{4} \ln(2-\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln(3+\sqrt{3})$$

因此，原定积分的结果为：

$$\int_{1}^{2} \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{(x-\sqrt{3})(x\sqrt{3}+1)} d x= \frac{-\sqrt{3}+1}{4} \ln(2-\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}-1}{4} \ln(3+\sqrt{3})$$

结论

本文介绍了RD Sharma第12类数学教材中第20章定积分中练习20.5的解决方案，设置2。我们通过解析和变量代换，使用部分分式法和对数函数的性质成功地计算了给定的定积分，并得出了它的结果。