9类RD Sharma解决方案–第四章代数身份-练习4.4

RD Sharma是一本非常有用的参考书，尤其是在数学领域。它提供了各种数学问题的解决方案，使学生能够解决代数和几何方面的问题。

在第四章“代数身份”中，有一个练习4.4，它要求学生解决各种代数身份的问题。这个问题是许多学生所困扰的，但通过RD Sharma提供的解决方案，可以帮助学生掌握解决这些问题的技巧。

解决方案

下面是RD Sharma中第四章“代数身份”中练习4.4的解决方案：

题目1

证明：$$ (a + b)^3 + (b + c)^3 + (c + a)^3 – 3(a + b)(b + c)(c + a) = 2(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc) $$

解决方案：使用代数公式，可以将左侧的方程转化为：

$$ 2(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc) $$

现在，我们只需要证明$$ (a + b)^3 + (b + c)^3 + (c + a)^3 = 2(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc) + 3(a + b)(b + c)(c + a)$$

展开左侧的方程，可以得到：

$$ 2(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc) + 3(a + b)(b + c)(c + a) = 2(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc) + 3abc + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + 3a^2b $$

然后，使用代数公式，可以将右侧的方程转化为：

$$ (a + b + c)^3 – (a^3 + b^3 + c^3) $$

我们已经知道，$$ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) $$

所以，我们可以将右侧的方程转化为：

$$ 2(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc) + 3(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)^3 – 3(a + b)(b + c)(c + a) $$

这就证明了$$ (a + b)^3 + (b + c)^3 + (c + a)^3 – 3(a + b)(b + c)(c + a) = 2(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc) $$

题目2

证明：$$ \frac{a^2}{b – c} + \frac{b^2}{c – a} + \frac{c^2}{a – b} = 0 $$

解决方案：根据题目要求，我们将每个分数乘以一个额外的项，使得分子中的每个项都变成a，b和c。然后，我们可以展开每个分数，如下所示：

$$ \frac{a^2(b + c)}{(b – c)(b + c)} + \frac{b^2(c + a)}{(c – a)(c + a)} + \frac{c^2(a + b)}{(a – b)(a + b)} $$

现在，我们将分母乘起来，可以得到：

$$ \frac{a^2(b + c)(c – a)(a – b) + b^2(c + a)(b – c)(a – b) + c^2(a + b)(b – c)(c – a)}{(b – c)(c – a)(a – b)} $$

我们可以看到分母的三个部分是彼此相等的，并且是负数，因此分母为负数。

在分子中，我们可以将每个项展开：

$$ a^2b^2 – a^3b + a^2c^2 – ac^3 + b^2c^2 – b^3c $$

现在，我们将每个项按a，b和c分组：

$$ a^2b^2 – a^3b + a^2c^2 – ac^3 + b^2c^2 – b^3c = ab^2(a – b) + bc^2(b – c) + ca^2(c – a) $$

我们可以看到，这些项互为相反数。因此，它们的和等于零。因此，证明了$$ \frac{a^2}{b – c} + \frac{b^2}{c – a} + \frac{c^2}{a – b} = 0 $$

题目3

证明：$$ \frac{x^2}{a – b} + \frac{y^2}{b – c} + \frac{z^2}{c – a} = 0 $$

解决方案：这个问题与题目2类似。我们将分子中的每个项都变成x，y和z，然后将每个分数乘以一个额外的项，如下所示：

$$ \frac{x^2(b + c)}{(b – c)(b + c)} + \frac{y^2(c + a)}{(c – a)(c + a)} + \frac{z^2(a + b)}{(a – b)(a + b)} $$

现在，我们将分母乘起来，可以得到：

$$ \frac{x^2(b + c)(c – a)(a – b) + y^2(c + a)(b – c)(a – b) + z^2(a + b)(b – c)(c – a)}{(b – c)(c – a)(a – b)} $$

我们可以看到分母的三个部分是彼此相等的，并且是负数，因此分母为负数。

在分子中，我们可以将每个项展开：

$$ x^2by – x^2ab + y^2ac – y^2bc + z^2ba – z^2ca $$

现在，我们将每个项按x，y和z分组：

$$ x^2by – x^2ab + y^2ac – y^2bc + z^2ba – z^2ca = ab(x – y) + bc(y – z) + ca(z – x) $$

我们可以看到，这些项互为相反数。因此，它们的和等于零。因此，证明了$$ \frac{x^2}{a – b} + \frac{y^2}{b – c} + \frac{z^2}{c – a} = 0 $$

结论

通过上面的例子，我们可以发现RD Sharma提供了一些非常有用的解决方案，使学生掌握了解决代数问题的方法。这些解决方案对于那些在代数方面有困难的学生或希望在数学考试中取得好成绩的学生都非常有帮助。因此，RD Sharma是一本非常有用的参考书，值得所有对数学感兴趣的人阅读和学习。