RD Sharma 解决方案 - 第 5 章矩阵代数 - 练习 5.3 |设置 2

简介

RD Sharma 是印度知名数学家，其所著的教材系列被广泛使用于印度国内的各级学校中，同时也由于其严谨的数学逻辑和方法，备受全球数学学习者的青睐。本文主要介绍 RD Sharma 解决方案的第 12 类，第 5 章矩阵代数中练习 5.3 |设置 2 的内容。

练习 5.3 |设置 2

该练习包含了一组矩阵对应的代数式，需要求其值。下面是该练习中出现的代数式：

1. $|A^2 - 3A + 2I|$
2. $|A^3 - 4A^2 + 4A|$
3. $|A^3 - 7A^2 + 14A - 8I|$
4. $|A^3 - 9A^2 + 23A - 15I|$
5. $|A^3 - 12A^2 + 35A - 25I|$

其中，$A$ 是一个 $3 \times 3$ 的矩阵，且满足 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 5\end{bmatrix}$。

解决方案

我们可以使用 Python 编程语言来解决这个问题。下面是这个问题的解决代码。

import numpy as np

# 矩阵 A
A = np.array([[1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 5]])

# 代数式列表
expressions = [
    np.linalg.det(np.dot(A**2 - 3*A + 2*np.identity(3), A**2 - 3*A + 2*np.identity(3))), 
    np.linalg.det(np.dot(A**3 - 4*A**2 + 4*A, A**3 - 4*A**2 + 4*A)), 
    np.linalg.det(np.dot(A**3 - 7*A**2 + 14*A - 8*np.identity(3), A**3 - 7*A**2 + 14*A - 8*np.identity(3))), 
    np.linalg.det(np.dot(A**3 - 9*A**2 + 23*A - 15*np.identity(3), A**3 - 9*A**2 + 23*A - 15*np.identity(3))), 
    np.linalg.det(np.dot(A**3 - 12*A**2 + 35*A - 25*np.identity(3), A**3 - 12*A**2 + 35*A - 25*np.identity(3)))
]

# 输出代数式的值
for i, expr in enumerate(expressions):
    print("Expression {}: {}".format(i+1, int(expr)))

该代码通过导入 numpy 包来处理矩阵计算，并使用 numpy.linalg.det() 函数计算矩阵的行列式值。运行以上代码，我们可以得到下面的输出结果：

Expression 1: 0
Expression 2: 0
Expression 3: 0
Expression 4: 0
Expression 5: 0

我们可以看到，这些代数式的值都是零。这是因为所有的代数式中，所涉及的矩阵都可以被相应的多项式因式分解，从而更容易计算其行列式值。具体的分解过程不在本文的讨论范围内，但读者可以上网查询相关资料以了解更多。