RD Sharma解决方案 - 第11类 - 第16章 排列 - 练习16.4

RD Sharma是一个广受欢迎的数学书系，广泛应用于印度的高中课程和各种国家级和全国级的数学竞赛中。其中排列是其中比较重要的一个内容，涉及到了排列中的元素选择、元素顺序和元素重复等各种问题。在第16章中，我们将涉及到排列的各个方面。

本文将介绍第11类中第16章排列练习16.4的解决方案，该练习涉及到了以下问题：

• 用阶乘来求解给定的问题
• 利用重复元素和限制条件来计算排列的数量

阶乘的应用

排列问题通常涉及到元素的顺序问题。如果有n个元素，则这n个元素进行排列所得到的不同顺序的积为n的阶乘n！。在本练习中，学生需要使用阶乘来解决交替排列的问题，即求解元素A、B、C的所有可能排列的数量。

交替排列

• 在此类排列中，元素A和B在排列中始终交替出现，而元素C始终位于排列的结尾。

因此，可能的排列可以表示为： ABAC, ABCB, ACAB, ACBA, BAAC, BACA, BCAA, CABAC, CABCA, CBAAC, CBACA, CBCAA。

为了计算这些排列的数量，我们需要简单地计算元素A和B的排列数量，因为它们的位置始终固定。根据阶乘公式，元素A和B的排列数量是2！= 2x1 = 2。另外，元素C的位置始终固定在排列的末尾。因此，对于所有的排列，我们只需将元素A和B的排列数量乘以元素C的数量。因此，可能的排列数量是2 x 1 x 1 = 2。

重复元素和限制条件

排列问题中的另一类问题涉及到具有相同元素或限制条件的元素的排列。在本练习中，我们考虑把N张牌放在一个包含n个插槽的盒子里的问题，其中每个插槽可以容纳一个牌。解决此问题需要考虑到两个重复元素和限制条件：

• 有k张牌，它们都是相同的。
• 在盒子中，前n-1个插槽中只能包含1张牌，而最后一个插槽必须包含剩下的所有牌（即k-n+1）。

要解决这个问题，我们可以使用与组合中的相同技术。首先，我们将所有的k张牌分成n-k组。其中，n-k-1组将有1张牌，而最后一组将有k-n+1张牌。问题的答案就是这些组的可能排列的总数。这可以计算为下面的公式：

$Ans=$ $^kC_{k-n+1} \cdot (n-k)!$

其中，$^kC_{k-n+1}$是从k个元素中选择k-n+1个元素的组合数。$(n-k)!$是在插槽中排列不同组的重复元素的方法。

结论

本文通过解决RD Sharma的第11类排列问题中的第16章练习16.4，介绍了如何使用阶乘和组合的技术计算排列数量。我们已经讨论了两种问题，一种涉及到元素的顺序选择和另一种涉及到重复元素和限制条件。

希望这篇文章可以帮助学生更好地理解RD Sharma中的排列内容，并为程序员提供有关排列问题的思路。