RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 练习 19.8

这是 RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 - 练习 19.8 的解答，其中包括详细的步骤，方便程序员理解和参考。

题目

计算$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx$

解答

首先将被积函数拆分为两个部分：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x} dx + \int \frac{\cot x}{\sin x} dx$$

对于第一个积分，我们可以使用 $u$ 替换 $x$：

$$u = \cos x, du = -\sin x dx$$

现在可以表示第一个积分为：

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = -\int\frac{1}{u \sqrt{1-u^2}} du$$

令 $v = 1 - u^2, dv = -2u du$，于是：

$$\int\frac{1}{u \sqrt{1-u^2}} du = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{v^{1/2}} dv$$

对第二个积分，我们可以将 $\cot x$ 用 $\frac{\cos x}{\sin x}$ 来表示：

$$\int \frac{\cot x}{\sin x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$$

同样可以使用 $u$ 替换 $x$：

$$u = \sin x, du = \cos x dx$$

因此：

$$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\sin x} + C$$

将结果合并起来：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x} dx + \int \frac{\cot x}{\sin x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{v^{1/2}} dv -\frac{1}{\sin x} + C$$

回到最开始的变量 $x$：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-\cos^2 x} dx -\frac{1}{\sin x} + C$$

使用三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sin^2 x} dx -\frac{1}{\sin x} + C$$

最终得到：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{\sin x} + C$$

这就是被积函数的原函数。

结论

根据以上推导，我们得到：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{\sin x} + C$$

代码

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# RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 练习 19.8

这是 RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 - 练习 19.8 的解答，其中包括详细的步骤，方便程序员理解和参考。

## 题目

计算$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx$

## 解答

首先将被积函数拆分为两个部分：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x} dx + \int \frac{\cot x}{\sin x} dx$$

对于第一个积分，我们可以使用 $u$ 替换 $x$：

$$u = \cos x, du = -\sin x dx$$

现在可以表示第一个积分为：

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = -\int\frac{1}{u \sqrt{1-u^2}} du$$

令 $v = 1 - u^2, dv = -2u du$，于是：

$$\int\frac{1}{u \sqrt{1-u^2}} du = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{v^{1/2}} dv$$

对第二个积分，我们可以将 $\cot x$ 用 $\frac{\cos x}{\sin x}$ 来表示：

$$\int \frac{\cot x}{\sin x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$$

同样可以使用 $u$ 替换 $x$：

$$u = \sin x, du = \cos x dx$$

因此：

$$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\sin x} + C$$

将结果合并起来：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x} dx + \int \frac{\cot x}{\sin x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{v^{1/2}} dv -\frac{1}{\sin x} + C$$

回到最开始的变量 $x$：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-\cos^2 x} dx -\frac{1}{\sin x} + C$$

使用三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sin^2 x} dx -\frac{1}{\sin x} + C$$

最终得到：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{\sin x} + C$$

这就是被积函数的原函数。

## 结论

根据以上推导，我们得到：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{\sin x} + C$$

代码片段：

$$\int \frac{1+\cot x}{\sin x} dx = \frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{\sin x} + C$$