RD Sharma 解 - 第19章不定积分 - 练习19.8 | 设置2

简介

RD Sharma解是印度著名的数学教育家RD Sharma所著的高中数学教材。该教材被广泛使用，在不同的国家都是高中数学课程的主要教材。本文介绍了该教材第19章不定积分中的练习19.8-设置2，该练习涵盖了对反三角函数的不定积分，并且需要使用替代和部分分式等技巧。

为了求解这些不定积分，我们需要熟悉反三角函数的基本积分表，并且需要掌握替代和部分分式的基本技巧。

练习19.8-设置2

本次练习涉及到以下几个不定积分的求解：

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9x^2-1}}$

$\int \cos^2x\sqrt{1-\sin x}dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{4x^2-1}}dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx$

$\int \frac{dx}{x(1-\ln x)}$

这些不定积分需要使用不同的积分技巧来求解。其中，第一个积分需要使用替代和部分分式技巧，第二个积分和第三个积分需要使用三角替代，第四个积分需要使用圆周替代，而第五个积分需要使用分式拆分。

代码片段

练习19.8-设置2

1. $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9x^2-1}}$

   做替代：$x=\frac{1}{3}\sec\theta$
   
   $\Longrightarrow dx=\frac{1}{3}\sec\theta\tan\theta d\theta$
   
   原积分可化为：
   
   $\int \frac{\frac{1}{3}\sec\theta\tan\theta d\theta}{(\frac{1}{3}\sec\theta)^2\sqrt{1-\sin^2\theta}}$
   
   $=\frac{1}{3}\int \frac{d\theta}{\cos\theta}$
   
   $=\frac{1}{3}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$
   
   $=\frac{1}{3}\ln|\frac{1}{3x}+\frac{\sqrt{9x^2-1}}{3x}|+C$
   
2. $\int \cos^2x\sqrt{1-\sin x}dx$

   做替代：$\sin x=t^2$
   
   $\Longrightarrow \cos xdx=2tdt$
   
   原积分可化为：
   
   $\int (1-t^4)dt$
   
   $=t-\frac{1}{5}t^5+C$
   
   $=\sin x-\frac{1}{5}\sin^5x+C$
   
3. $\int \frac{1}{\sqrt{4x^2-1}}dx$

   做替代：$x=\frac{1}{2}\sec\theta$
   
   $\Longrightarrow dx=\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta d\theta$
   
   原积分可化为：
   
   $\int \frac{\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta d\theta}{\sqrt{4(\frac{1}{2}\sec\theta)^2-1}}$
   
   $=\int d\theta$
   
   $=\theta+C$
   
   $=\cos^{-1}(2x)+C$
   
4. $\int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx$

   做替代：$x=1-\sin\theta$
   
   $\Longrightarrow dx=\cos\theta d\theta$
   
   原积分可化为：
   
   $\int \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{2(1-\sin\theta)-(1-\sin\theta)^2}}$
   
   $=\int \frac{\cos\theta d\theta}{\cos\theta}$
   
   $=\sin^{-1}(1-x)+C$
   
5. $\int \frac{dx}{x(1-\ln x)}$

   对于分子中的$\frac{dx}{x}$，做替代：$x=e^t$
   
   $\Longrightarrow dx=e^tdt$
   
   原积分可化为：
   
   $\int \frac{e^tdt}{e^t(1-t)}$
   
   $=\int \frac{dt}{1-t}$
   
   $=-\ln|1-t|+C$
   
   $=-\ln|1-\ln x|+C$