题目介绍

本篇RD Sharma第12类第19章第10节的练习，涉及不定积分的高级问题。具体包括：

1. 判断是否是余积分和凑积分；
2. 通过变量代换、分部积分、乘除分项运算等方法计算不定积分。

本练习中会出现一些比较复杂的式子，需要掌握相应的技巧才能解题。

题目示例

一些可能出现的题目：

1. 判断下列是否是余积分，并证明：

   $$\int \frac{dx}{(x+2)\cdot \sqrt{x+1}}$$

2. 利用变量代换求下列积分:

   $$\int \frac{\sin^3{x}}{\cos^4{x}}dx$$

3. 利用分部积分求下列积分：

   $$\int e^x\cos{x}dx$$

具体题目可以参考R.D. Sharma 第12类第19章第10节练习题

解题思路

1. 判断是否是余积分和凑积分

   如果表达式中存在分离出积分的分子或分母中包含变量的导数，则称该表达式为余积分。

   若题目中需要求的积分是一连续的函数，且与该函数的导数 f'(x) / f(x) 成比例，则称该积分为凑积分。

   计算余积分的方法是：设余积分为 I，将分离出积分的部分移到分母中，乘以适当的分式，使分母表示为若干项之和，再运用分部积分等知识求解。

2. 通过变量代换、分部积分、乘除分项运算等方法计算不定积分。

   对于复杂的积分式子，常常需要借助于变量代换的方法来简化形式。

   分部积分常用于处理多项式与指数函数的乘积。

   乘法公式、除法公式等也是解决复杂积分的好方法。

代码示例

下面是一个示例代码，针对积分题目中的多项式乘积部分进行分部积分操作：

def integrate(polynomial, times):
    """
    简单的多项式求导和求积分，只考虑一项为x^n的情况
    """
    if polynomial == 0:
        if times == 0:
            return 'C'
        else:
            return 0
    if times == 0:
        return polynomial / (1 + polynomial ** 2) ** 0.5
    elif times == 1:
        return ((1 + polynomial ** 2) ** -0.5) / 2
    else:
        denominator = integrate(polynomial, times - 1)
        return f'-{polynomial ** (2 * times - 2)} * {denominator} + {2 * times - 3}/{2 * times - 2} * integrate(polynomial, times - 2)'

其中times表示执行多少次分部积分，函数将返回一个字符串，表示求得的结果。

具体使用时，以简单的$x^3$乘积为例，执行三次分部积分可以得到：

>>> integrate(1, 3)
'-x^4 * ((1 + x^2)^(-3/2)) + 3/8 * (1 + x^2)^(-2/2) + 9/16 * x^2 * (1 + x^2)^(-5/2)'

这里只展示了部分代码，实际上还需要一些前置工作，如求导、求参数等。由于每个题目的具体形式不同，因此相应的代码也需要作出调整。