介绍第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.9 |套装3

简介

本套装是RD Sharma解决不定积分问题的第12类，属于第19章的练习19.9，包含了一些典型的不定积分问题。

内容

本套装主要包含以下问题：

1. 对于 $I=\int\frac{(x^2-2x+2)}{(x-1)^3}$，求解 $I$ 的值。
2. 对于 $I=\int\frac{(x^3+1)}{(x^2+1)^2}$，求解 $I$ 的值。
3. 对于 $I=\int\frac{\sin(x)\cos(x)}{(\sin(x)+\cos(x))^2}$，求解 $I$ 的值。
4. 对于 $I=\int\frac{(x^3+1)}{(x^2+x+1)^3}$，求解 $I$ 的值。

以上问题都是典型的不定积分问题，需要根据不同的方法进行求解。

解决方法

对于问题1，可以采用变量代换法将分子化简，然后使用部分分式法将式子进行分解，最后再使用 $-\int\frac{d}{dx}\frac{1}{x-1}dx$ 的形式求解不定积分。

对于问题2，可以采用分部积分法，将分子中的 $x^3$ 进行积分，将 $(x^2+1)^{-2}$ 进行微分，最终得到要求的积分结果。

对于问题3，可以采用变量代换法将 $\sin(x)+\cos(x)$ 化简为 $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，然后再使用分部积分法和 $u$-$v$ 积分法求解。

对于问题4，可以采用配方法将 $(x^2+x+1)^3$ 化简为 $(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$，然后采用变量代换法和分部积分法求解。

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# 介绍第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.9 |套装3

## 简介

本套装是RD Sharma解决不定积分问题的第12类，属于第19章的练习19.9，包含了一些典型的不定积分问题。

## 内容

本套装主要包含以下问题：

1. 对于 $I=\int\frac{(x^2-2x+2)}{(x-1)^3}$，求解 $I$ 的值。
2. 对于 $I=\int\frac{(x^3+1)}{(x^2+1)^2}$，求解 $I$ 的值。
3. 对于 $I=\int\frac{\sin(x)\cos(x)}{(\sin(x)+\cos(x))^2}$，求解 $I$ 的值。
4. 对于 $I=\int\frac{(x^3+1)}{(x^2+x+1)^3}$，求解 $I$ 的值。

以上问题都是典型的不定积分问题，需要根据不同的方法进行求解。

## 解决方法

对于问题1，可以采用变量代换法将分子化简，然后使用部分分式法将式子进行分解，最后再使用 $-\int\frac{d}{dx}\frac{1}{x-1}dx$ 的形式求解不定积分。

对于问题2，可以采用分部积分法，将分子中的 $x^3$ 进行积分，将 $(x^2+1)^{-2}$ 进行微分，最终得到要求的积分结果。

对于问题3，可以采用变量代换法将 $\sin(x)+\cos(x)$ 化简为 $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，然后再使用分部积分法和 $u$-$v$ 积分法求解。

对于问题4，可以采用配方法将 $(x^2+x+1)^3$ 化简为 $(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$，然后采用变量代换法和分部积分法求解。