RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 - 练习 19.25

本篇文章将在解决RD Sharma数学书第19章的不定积分问题中，特别是练习19.25上给出许多范例和解决方法。我们将讨论不定积分和它的性质以及解决这些问题的基本步骤。

什么是不定积分？

不定积分表示定积分的反操作。通俗来说，它是一个函数的积分，不需要指定上下限。不考虑积分的下限和上限，只有一个积分符号，例如：

$$ \int f(x) dx $$

这里，f(x)表示要积分的函数，dx表示被积变量或积分的变量。

不定积分也称为原函数的积分，因为它是由函数f(x)导出的，而且被积函数与原函数之间存在积分关系。

求解不定积分的基本步骤

求解不定积分的基本步骤如下：

1. 使用基本的积分公式，例如线性法则，幂法则，三角函数积分规则等。
2. 变换被积函数，通过换元积分法，分部积分法，有理函数积分法等等。
3. 根据被积函数所在的区域，将其分为逐段连续的部分，然后分别积分，并在最后将它们整合起来。

练习19.25

练习19.25的问题是：

$$ \int\frac{4x+11}{2x^2+9} dx $$

首先，我们要把被积函数拆成一个常数和一个多项式的和形式，即：

$$ \frac{4x+11}{2x^2+9} = a\frac{d}{dx}(\ln (2x^2+9)) + b\frac{1}{2x^2+9} $$

这里的a和b是常数，未知。

对于第一项，我们通过求导获得：

$$ \frac{d}{dx}(\ln (2x^2+9)) = \frac{4x}{2x^2+9} $$

所以，a应该等于2.

对于第二项，我们可以使用分解式的方式，即：

$$ \frac{1}{2x^2+9} = \frac{1}{3}\frac{1}{(\sqrt{\frac{2}{3}}x)^2+1} $$

这让我们感到熟悉，因为它是函数$\arctan x$的形式，所以我们有：

$$ \frac{1}{2x^2+9} = \frac{1}{3}\frac{d}{dx}(\arctan (\sqrt{\frac{2}{3}}x) $$

所以，我们将b置为$\sqrt{\frac{2}{3}}$。

现在，我们可以展开原函数的积分了：

$$ \int\frac{4x+11}{2x^2+9} dx = 2\ln (2x^2+9) + \sqrt{\frac{2}{3}}\int\frac{1}{(\sqrt{\frac{2}{3}}x)^2+1} dx $$

这种形式就是$\arctan$。所以，最终的解是：

$$ \int\frac{4x+11}{2x^2+9} dx = 2\ln (2x^2+9) + \frac{\sqrt{6}}{3} \arctan (\sqrt{\frac{2}{3}}x) + C $$

其中，C是积分的常数。

总结

这篇文章简单介绍了不定积分的特点和基本的求解步骤，并通过例子展示了一个实际的问题如何得到解决。希望读者们通过学习和实践，掌握这些知识并成功应用于相关问题的求解。