介绍

sympy.stats.GammaInverse 是Sympy库中的一个用于生成Gamma逆分布的类，该类从sympy.stats.rv_continuous继承。Gamma逆分布的概率密度函数如下：

$$f(x|a,b) = \frac{b^a}{\Gamma(a)}x^{-a - 1}e^{-\frac{b}{x}},\ \ x \ge 0$$

其中，$a$和$b$是分布的形状和比例参数，$\Gamma(a)$是Gamma函数。

当$b$固定时，Gamma逆分布就变成了参数为$a$的逆斯特林分布。

使用方法

使用sympy.stats.GammaInverse需要先导入sympy和sympy.stats：

import sympy
import sympy.stats

创建一个Gamma逆分布的实例：

a, b, x = sympy.symbols('a b x')
y = sympy.stats.GammaInverse('y', a, b)

这里，a和b是分布的参数，y是随机变量的名称。

Gamma逆分布有几个常用的特殊情况，可以调用相应的函数来创建实例。例如，当$a=b=1$时，Gamma逆分布就变成了标准逆斯特林分布：

y = sympy.stats.InverseStieljes('y')

当$a=1$时，Gamma逆分布就变成了参数为$b$的逆指数分布：

y = sympy.stats.InverseExponential('y', b)

我们可以通过pdf方法获取概率密度函数：

sympy.stats.density(y)(x)

输出：

$$\frac{b^a}{\Gamma(a)}x^{-a - 1}e^{-\frac{b}{x}}$$

示例

我们可以画出Gamma逆分布的概率密度函数图像，以了解它的特点。

import matplotlib.pyplot as plt

a_val = 2
b_val = 3
y = sympy.stats.GammaInverse('y', a_val, b_val)

xs = sympy.linspace(0.01, 5, 100)
pdf = sympy.stats.density(y)(xs).evalf()

plt.plot(xs, pdf)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability density function')
plt.title(f'GammaInverse({a_val}, {b_val})')
plt.show()

输出：

从图中可以看出，Gamma逆分布是一个非负的右偏分布，随着$x$的增大，概率密度函数快速下降。$\alpha$和$\beta$越大，Gamma逆分布越瘦高。