算法测验 | 须藤放置[1.7] | 问题12

简介

本题是游戏《须藤放置》中的一道算法题，题目要求在一个二维平面上放置若干个点，使得这些点之间的最小距离最大。本题可以采用分治法或者贪心策略来解决。这种类型的问题在计算几何中也有广泛的应用。

实现思路

分治法

分治法是将问题分解成多个子问题，再将子问题逐一解决的方法。对于本题而言，可以采用分治法来求解，具体步骤如下：

1. 将所有点按照横坐标从小到大排序；

2. 将排序后的点从中间分成两组，分别递归求解每组中点之间的最小距离，最终取两组最小距离的最小值作为结果；

3. 求解分界线两侧距离小于两个最小距离的点对，将这些点按照纵坐标排序，并依次求解它们之间的最小距离，取这些距离的最小值作为结果。

def closest_pair(points):
    if len(points) < 2:
        return float('inf') # 直接返回无穷大
    
    mid = len(points) // 2 # 分界线
    
    # 递归求解两侧的最小距离
    left_min = closest_pair(points[:mid])
    right_min = closest_pair(points[mid:])
    min_distance = min(left_min, right_min)
    
    # 寻找分界线两侧距离小于两个最小距离的点对
    border_line = (points[mid-1].x + points[mid].x) / 2
    border_points = [p for p in points if abs(p.x - border_line) < min_distance]
    border_points.sort(key=lambda p: p.y)
    
    # 逐一计算目标点对距离
    for i in range(len(border_points) - 1):
        for j in range(i+1, len(border_points)):
            if border_points[j].y - border_points[i].y >= min_distance:
                break
            distance = border_points[i].distance_to(border_points[j])
            if distance < min_distance:
                min_distance = distance
    
    return min_distance

贪心策略

贪心策略是指在做出选择时，总是选择当下最优的解决方案，最终得到全局最优的结果的思路。对于本题而言，可以采用贪心策略来求解，具体步骤如下：

1. 先将所有点按照横坐标从小到大排序；

2. 从左到右依次将每个点放置在最左侧的位置，计算当前所有点之间的最小距离，将所有情况中最大的距离作为结果。

def closest_pair(points):
    if len(points) < 2:
        return float('inf') # 直接返回无穷大
    
    points.sort(key=lambda p: p.x)
    
    min_distance = float('inf')
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            if points[j].x - points[i].x >= min_distance:
                break
            distance = points[i].distance_to(points[j])
            if distance < min_distance:
                min_distance = distance
    
    return min_distance

总结

分治法和贪心策略都是求解最小距离的有效方法，两种方法的时间复杂度都是 $O(nlogn)$，不过贪心策略的实现比分治法更加简单，处理边界情况也更为方便。当数据量较小时，建议直接采用贪心策略求解；当数据量较大时，可以考虑使用分治法进行优化。