门 | GATE CS 2018 | 简体中文问题17

这是一道关于数据结构和算法的题目，需要熟悉二叉树的特性和遍历方法。下面为问题和解题思路的详细介绍。

问题

给定一个二叉树，求出该二叉树中最长的连续路径（该路径可以是从父节点到子节点，也可以是从子节点到父节点）。

例如，对于以下二叉树：

     1
    / \
   2   3
  / \
 4   5

从 1->2->4 或 2->4 都可以构成连续路径。

解题思路

注意到连续路径的特殊性质——它们必须从根节点开始或结束，不能中途中断。也就是说，在遍历二叉树的时候，对于某一个节点，如果其左子树或右子树中存在连续路径，我们需要将该信息以某种方式记录下来，以便更高层次的节点使用。

在遍历二叉树时，我们可以使用递归的方式，在每个节点处记录左右子树中的连续路径长度，然后分别统计以该节点为起点或终点的连续路径长度。该算法具体步骤如下：

1. 对于空节点，返回 0。
2. 对于非空节点：

   1. 以递归的方式计算出左子树和右子树中的最长连续路径长度，分别记为 $left$ 和 $right$。

   2. 对于该节点，统计出以其为起点和终点的最长连续路径长度。设当前节点值为 $val$，以该节点为起点的最长连续路径长度为 $start$，以该节点为终点的最长连续路径长度为 $end$，则：

      $$ start = \begin{cases} 0, & left = 0 \ 1 + left, & left > 0 ; \text{且} ; \text{左子树根节点值为} ; val+1 \ 1, & left > 0 ; \text{且} ; \text{左子树根节点值不为} ; val+1 \end{cases} $$

      $$ end = \begin{cases} 0, & right = 0 \ 1 + right, & right > 0 ; \text{且} ; \text{右子树根节点值为} ; val+1 \ 1, & right > 0 ; \text{且} ; \text{右子树根节点值不为} ; val+1 \end{cases} $$

   3. 计算当前节点的最长连续路径长度 $path$。如果连续路径经过根节点，则 $path = start + end - 1$，否则 $path = \max(start, end)$。

   4. 返回 $path$。

在遍历整个二叉树的过程中，不断更新最长连续路径的长度，最终得出该二叉树中最长的连续路径长度。时间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 是二叉树中节点的数量。

下面为标准的 Python 代码实现：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class Solution:
    def longestConsecutive(self, root: TreeNode) -> int:
        def dfs(node: TreeNode) -> int:
            if not node:
                return 0
            
            left = dfs(node.left)
            right = dfs(node.right)
            
            start = end = 1
            
            if node.left and node.left.val == node.val + 1:
                start = left + 1
            if node.right and node.right.val == node.val + 1:
                end = right + 1
            
            nonlocal ans
            ans = max(ans, start + end - 1)
            return max(start, end)
        
        ans = 0
        dfs(root)
        return ans

代码中的 TreeNode 类表示二叉树节点，Solution 类中的 longestConsecutive 方法即为我们要求的函数。函数中的 dfs 方法采用递归实现，返回该节点为起点或终点的最长连续路径长度，在遍历整个二叉树的过程中更新最长连续路径的长度。