门|门CS 2013 |第 60 题

门|门CS 2013 |第 60 题是一道算法题，需要设计一个算法来快速求出两个矩阵相乘后的结果矩阵。这道题的难度较高，需要一定的数学基础和算法设计能力。

题目描述

给定两个矩阵A和B，其中A的大小为m × n，B的大小为n × p，设计一个算法来快速求出A和B相乘后的结果矩阵C的大小为m × p。其中，矩阵A和B的元素均为整数。

解题思路

传统矩阵乘法

首先，我们来看一下传统的矩阵乘法算法。对于两个矩阵A和B相乘，其结果矩阵C的元素C[i][j]可以通过如下公式计算：

C[i][j] = ∑A[i][k] × B[k][j]

其中，k的范围是1到n。

具体来说，我们可以使用三重循环来实现矩阵乘法算法。第一重循环枚举C的行，第二重循环枚举B的列，第三重循环枚举A的列。

for (int i = 0; i < m; i++) {
    for (int j = 0; j < p; j++) {
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
        }
    }
}

需要注意的是，我们需要将C的所有元素初始化为0。此外，我们还可以将循环嵌套的顺序改变一下，以便于利用CPU的缓存行，提高算法的效率。

Strassen矩阵乘法

传统的矩阵乘法算法的时间复杂度为O(mnp)，它在大规模的矩阵运算中非常耗时。因此，我们需要寻找更加高效的矩阵乘法算法。

Strassen矩阵乘法是一种分治算法，它的时间复杂度为O(n^log2(7))，明显优于传统矩阵乘法。

具体来说，Strassen矩阵乘法的思路是将两个矩阵分成四个子矩阵，然后通过一系列加减乘操作来计算结果矩阵。其具体操作如下：

1. 将矩阵A和矩阵B均分成4个子矩阵（每个子矩阵大小为n/2）：

A = [A11 A12; A21 A22] B = [B11 B12; B21 B22]

2. 计算出7个中间矩阵M1到M7：

M1 = (A11 + A22) × (B11 + B22);
M2 = (A21 + A22) × B11;
M3 = A11 × (B12 - B22);
M4 = A22 × (B21 - B11);
M5 = (A11 + A12) × B22;
M6 = (A21 - A11) × (B11 + B12);
M7 = (A12 - A22) × (B21 + B22);

3. 根据中间矩阵M1到M7计算出结果矩阵C的四个子矩阵：

C11 = M1 + M4 - M5 + M7;
C12 = M3 + M5;
C21 = M2 + M4;
C22 = M1 - M2 + M3 + M6;

最终的结果矩阵C即为这四个子矩阵的拼接。

需要注意的是，Strassen矩阵乘法的实现比较复杂，还需要考虑分治的退出条件等问题。此外，由于其常数较大，实际应用中可能不如其他算法。

总结

门|门CS 2013 |第 60 题是一道比较有挑战性的算法题目，需要掌握传统矩阵乘法的实现，并且了解Strassen矩阵乘法的算法思路和实现技巧。矩阵乘法是一项基础的数学运算，在很多领域都有广泛的应用，因此熟练掌握矩阵乘法算法非常重要。