门 | GATE CS 2019 |简体中文问题23

这是一道考察程序员基本算法和数据结构能力的问题。题目如下：

给定一个整数数组A和一个整数k，定义一个门(m,n)，其中m和n都是A的下标，且0 <= m <= n < len(A)。门的值定义为A[m] XOR A[m+1] XOR ... XOR A[n]。如果m = n，那么门的值就是A[m]。

你需要计算一个整数P，满足下列条件：

1. 0 <= P < 2^(len(A)-1)
2. 对于A中的每一个门(m,n)，0 <= m <= n < len(A)，满足门的值与P的按位与结果都等于0

解题思路

根据题意，我们需要找到一个二进制数P，使得P与任意一个门的值的按位与结果都等于0。可以考虑到异或运算的性质，如果a ^ b = c，则a ^ c = b，b ^ c = a。因此，对于一个门(m,n)，我们可以将它拆分为两个门，分别是(m,r)和(r+1,n)，其中r是一个后缀异或和的位置。这样，它们的异或和就是a = A[m] ^ A[m+1] ^ ... ^ A[r]和b = A[r+1] ^ A[r+2] ^ ... ^ A[n]。

然后我们考虑对于a和b分别求一个二进制数pa和pb，满足pa ^ a = pb ^ b = P。这里我们采用递归求解的方式，将a和b继续拆分。如此一来，我们就可以得到一组2^(len(A)-1)个二进制数，其中唯一符合要求的值就是我们要求的P。

具体实现可以采用Trie树，先将所有可能的二进制数都插入到Trie树中，然后对于每一个门，将它的两个部分按位异或求出来，然后在Trie树中按位查找，直到找到某个叶子节点。如果某个叶子节点被标记，就说明这个二进制数可以作为P的值。最后只需要输出符合要求的序号即可。

代码实现

下面的代码实现中，我们使用了node类来实现Trie树节点。节点的标记表示在二进制数中的位置一定是0。在插入二进制数时，我们首先各位按位处理，从高位开始，如果当前位为0，则创建一个新的节点，如果当前位为1，则直接从树中获取next节点。如果这个二进制数所有位置都已经处理完毕，那么将叶子节点标记为true。在查找某个二进制数时，我们同样也是从高位开始查找，如果当前位为0，则搜索左子树，如果当前位为1，则搜索右子树。如果当前节点已经是叶子节点，并且被标记了，说明这个二进制数是符合条件的，返回true，否则返回false。

class node:
    def __init__(self):
        self.next = [None, None]
        self.is_leaf = False

class Trie:
    def __init__(self, n):
        self.root = node()
        self.n = n

    def insert(self, x):
        cur = self.root
        for i in range(self.n-1, -1, -1):
            bit = (x >> i) & 1
            if cur.next[bit] is None:
                cur.next[bit] = node()
            cur = cur.next[bit]
        cur.is_leaf = True

    def search(self, x):
        cur = self.root
        for i in range(self.n-1, -1, -1):
            bit = (x >> i) & 1
            if cur.next[bit]:
                cur = cur.next[bit]
                if cur.is_leaf and i == 0:
                    return True
            else:
                return False

然后我们使用上面的Trie树来实现下面的find_p()函数。在这个函数中，我们使用了分治递归的方式来求解一个门(m,n)对应的二进制数。其中，find_sub()函数用来求解一个后缀异或和的二进制数。对于一个后缀异或和，我们可以将它左移一位，然后执行异或操作，就可以得到不包含最低位的异或和，于是就可以递归求解它的二进制数了。最终的find_p()函数中，我们枚举所有的门，然后求解这个门对应的二进制数。如果是合法的，就将对应的序号加入到结果中。最后输出结果即可。

def find_sub(A, L, R):
    if L == R:
        return A[L]
    a = find_sub(A, L, R-1)
    b = A[R]
    pa = (a << 1) | 1
    pb = (b << 1) | 1
    return pa ^ pb ^ (a ^ b)

def find_p(A):
    n = len(A)
    trie = Trie(n-1)
    for i in range(n-1):
        trie.insert(i)

    res = []
    for m in range(n):
        S = 0
        for r in range(m, n):
            S ^= A[r]
            target = S ^ A[m]
            p = find_sub(A, m, r-1)
            if trie.search(target ^ p):
                res.append(m*n + r)
    return res