第11类RD Sharma解决方案–第32章统计–练习32.5

问题1.找到以下分布的标准偏差：

x:            y:

4.5       1

14.5         5

24.5            34.5          12               22

44.5         17

54.5           64.5          9                4

解决方案：

Here, N = 70,  

$\sum f_ix_i=2635\\ \therefore\ \ \overline{x}=\frac{1}{N}(\sum f_ix_i)=\frac{2635}{70}=37.64$

We have, $\sum f_i(x_i-\overline{x})^2 = 12308.57\\ \therefore \ \ var (x)=\frac{1}{N}\left[\sum f_i(x_i-\overline{x})^2\right]=\frac{12308.57}{70}=175.84\\ S.D. = \sqrt{var(x)}=\sqrt{175.84}=13.26$

问题2.计算均值和方差。

x             4.5     14.5	f             fx            x-mean       1            4.5            -33.14    5           72.5           -23.14	(x-mean)2           1098.45        535.59	f(x-mean)2          1098.45       2677.96
24.5     34.5	12          294           -13.14   22          759            -3.14	172.73          9.88	2072.82        217.31
44.5	17         756.5            6.86	47.02	799.35
54.5	9          490.5           16.86	284.16	2557.47
64.5	4           258             26.86	721.31	2885.22
	N = 70    2635		12308.57

解决方案：

Here, N = 2600, $\sum f_ix_i=10078\\ \therefore\ \ \ \overline{x}=\frac{1}{N}(\sum f_ix_i)=\frac{10078}{2600}=3.88$

Since,

$var(x)=h^2\left(\frac{1}{N}\sum f_i(x-mean)^2_i-\{\frac{1}{N}\sum f_i(x-mean)_i\}^2\right)\\ \sigma^2=1\left(\frac{21186}{2600}-\left(\frac{-5522}{2600}\right)^2\right)\\ \sigma^2=8.14846-4.51072\\ \sigma^2=3.64$

问题3.查找以下数据的平均值和标准偏差：

(一世)

x: y:

0 51

1         2 203    383

3 525

4 532

5 408

6 273

7 139

8       9 43     27

10 10

11 4

12 2

(ii)

X	F	Fx          x-mean	F(x-mean)	(x-mean)2	F(x-mean)2
0 1	51 203	0                 -6 203             -5	-306 -1015	36 25	1836 5075
2 3	383 525	766             -4   1575           -3	-1532 -1575	16 9	6128 4725
4 5 6`	532 408 273	2128           -2 2040           -1 1638            0	-1064 -408 0	4 1 0	2128 408 0
7 8	139 43	973              1 344              2	139 86	1 4	139 172
9 10	27 10	243              3 100              4	81 40	9 16	243 160
11 12	4 2	44                5 24                6	20 12	25 36	100 72
	2600	10078	-5522		21186

解决方案：

(一世)

xi	Cumulative frequency	fi	fixi	fixi2
10	15	15	150	1500
20	32	17	340	6800
30	51	19	570	17100
40	78	27	1080	43200
50	97	19	950	47500
60	109	12	720	43200
		N = 109	Total = 3810	Total = 159300

$Mean=\frac{3810}{109}=34.95\\ Var=\frac{159300}{109}-(34.95)^2=239.96\\ SD=\sqrt{239.96}=15.49$

(ii)

xi	fi	fixi	fixi2
2	1	2	4
3	6	18	54
4	6	24	96
5	8	40	200
6	8	48	288
7	2	14	98
8	2	16	128
9	3	27	243
10	0	0	0
11	2	22	242
12	1	12	144
13	0	0	0
14	0	0	0
15	0	0	0
16	1	16	256
	N = 40	Total = 239	Total = 1753

$Mean=\frac{239}{40}=5.975\\ Var=\frac{1753}{40}-(5.975)^2=8.12\\ SD=\sqrt{8.12}=2.85$

问题4.查找以下数据的标准差：

(一世)

Year render:      No. of persons (cumulative)

10     15

20       32

30       51

40               50                 60      78               97                109

(ii)

Marks:	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Frequency:	1	6	6	8	8	2	2	3	0	2	1	0	0	0	1

解决方案：

(一世)

x            f           3            7      8           10	fx               x-mean              (x-mean)2       21                -9.79                    95.88    80                -4.79                    22.96	f(x-mean)2          671.13       229.60
13          15     18          10	195                 0.21                     0.04   180                 5.21                    27.13	0.65       271.26
23           6	138                10.21                  104.21	625.26
48	614	1797.92

Here, N = 48, and $\sum f_ix_i=614$

$\therefore\ \ \ \overline{x}=\frac{1}{N}(\sum f_ix_i)=\frac{614}{48}=12.79\\ \sum f_i(x_i-\overline{x})^2=1797.92\\ \therefore\ \ \ \ Var(x)=\frac{1}{N}\left[\sum f_i(x_i-\overline{x})^2\right]=\frac{1797.92}{48}=37.46\\ S.D.=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{37.46}=6.12$

(ii)

xi	fi	fixi2
2	4	16
3	9	81
4	16	256
5	14	350
6	11	396
7	6	294
	N = 60	Total = 1393

$Mean=\frac{8+27+64+70+66+42}{60}=\frac{277}{60}=4.62\\ Var=\frac{1393}{60}-(4.62)^2=1.88\\ SD=\sqrt{1.88}=1.37$