第11类RD Sharma解决方案-第32章统计-练习32.6

简介

本篇文章介绍的是RD Sharma第11类数学教材，第32章统计学的解决方案，具体地是练习32.6。

在这个练习中，我们将学习如何根据给定的频率分布表计算一些统计量，比如平均数、中位数、众数、标准差等等。

解法思路

首先，给定的频率分布表是这样的：

| Class interval | Frequency | | :------------ | :-------: | | 0-10 | 4 | | 10-20 | 6 | | 20-30 | 8 | | 30-40 | 5 | | 40-50 | 2 | | 50-60 | 5 |

我们可以看出，这个频率分布表一共有6个类间隔，每个类间隔之间有一定数量的数据频率。

接下来，我们可以根据这些数据，计算出统计量。

1. 平均数

计算平均数的公式是：

$$\bar{x} = \frac{\sum{f_ix_i}}{\sum{f_i}}$$

其中，$f_i$代表每个类间隔的频率，$x_i$代表每个类间隔的中心点。

所以，我们可以按照以下步骤计算平均数：

1. 对于每个类间隔，计算出中心点$x_i$，并将其与对应的频率$f_i$相乘。
2. 将所有这些中心点乘以对应的频率的结果相加，得到分子。
3. 将所有的频率相加，得到分母。
4. 将分子除以分母，得到平均数$\bar{x}$。

根据上述公式，我们可以得出平均数为：

$$\bar{x} = \frac{4\times5+6\times15+8\times25+5\times35+2\times45+5\times55}{4+6+8+5+2+5} \approx 28.44$$

2. 中位数

计算中位数的步骤如下：

1. 将所有的频率累加得到$N$，记为样本容量。
2. 找出中位数所在的类间隔，即满足下列条件的类间隔，且中位数$M$位于该类间隔中：

$$\frac{N}{2} \leq \sum\limits_{i < M}f_i < \frac{N}{2}+f_M$$

3. 根据类间隔的宽度、频率和中位数的位置，可以使用下列公式计算中位数：

$$M = x_{M-1} + \frac{\frac{N}{2}-\sum\limits_{i<M}f_i}{f_M}\times c$$

其中，$x_{M-1}$是中位数所在类间隔的下限，$c$是类间隔的宽度。

根据上述公式，我们可以得出中位数为：

1. 样本容量$N$为$30$。
2. 根据第一步，中位数所在类间隔应该是第$3$个。
3. 根据第三步，可以得出中位数应该在$20-30$这个类间隔中，且$x_{M-1}=20$，$c=10$，$f_M=8$，$\sum\limits_{i<M}f_i=4+6=10$，$\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15$。

把这些数字带入公式，可以得出中位数为：

$$M = 20 + \frac{15-10}{8}\times10 = 22.5$$

3. 众数

众数是指出现频率最高的数值，因为本题中没有指定数据集的属性，所以这个题目可能存在多个众数。

我们可以根据频率分布表，直接看出来这些众数：

$$20, 25, 35, 55$$

这四个数都是出现次数最多的，均为$8$次。

4. 标准差

计算标准差的步骤如下：

1. 按照上述公式计算平均数$\bar{x}$。
2. 对于每个类间隔，计算出中心点$x_i$，然后将$x_i-\bar{x}$的平方乘以$f_i$，求和得到$\sum{f_i(x_i-\bar{x})^2}$。
3. 将$\sum{f_i(x_i-\bar{x})^2}$除以样本容量$N$，再开方，即得到标准差$S$。

根据上述公式，我们可以得出标准差为：

1. 平均数是$\bar{x}\approx28.44$。
2. 对于每个类间隔，计算中心点$x_i$以及$x_i-\bar{x}$的值，如下表所示：

| Class interval | $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $f_i$ | $f_i(x_i-\bar{x})^2$ | | :------------ | :---: | :----------: | :---: | :-----------------: | | 0-10 | 5 | -23.44 | 4 | 2157.44 | | 10-20 | 15 | -13.44 | 6 | 1297.81 | | 20-30 | 25 | -3.44 | 8 | 93.87 | | 30-40 | 35 | 6.56 | 5 | 215.08 | | 40-50 | 45 | 16.56 | 2 | 91.54 | | 50-60 | 55 | 26.56 | 5 | 1479.55 |

3. 样本容量为$N=30$。
4. 根据公式，可以依次计算出$\sum{f_i(x_i-\bar{x})^2}$、$\frac{\sum{f_i(x_i-\bar{x})^2}}{N}$和$\sqrt{\frac{\sum{f_i(x_i-\bar{x})^2}}{N}}$，最终得到标准差为：

$$S \approx 13.11$$

结论

通过以上步骤，我们可以得出以下结论：

1. 本数据样本的平均数为$\bar{x}\approx28.44$。
2. 本数据样本的中位数为$22.5$。
3. 本数据样本存在多个众数，分别是$20$、$25$、$35$、$55$，均出现$8$次。
4. 本数据样本的标准差为$S \approx13.11$。

代码实现

由于本题无需编写程序，所以该部分空缺。