第11类RD Sharma解决方案–第19章算术级数-练习19.3

问题1. AP的前三个项的总和为21，并且第一项和第三项的乘积比第二项多6，找到三个项。

解决方案：

We are given that the sum of first three terms are 21. Let’s suppose these three terms are a-d, a, a+d. 

So,

                                   a-d + a + a+d = 21

                                            3a = 21

                                              a= 7

And we are given 

                                  (a-d)*(a+d) – a = 6

                                  a² – d² -a = 6 

Putting value of a in this equation we can get value of d.

                                (7)² – (d)² -7 = 6

                                49 – d2 – 7 = 6

                                       d² = 36

                                       d= ±6

For d = 6 three terms of AP are 1, 7, 13. 

For d = -6 three terms are 13, 7, 1.

问题2. AP中有三个数字。如果这些数字的总和为27，乘积为648，则找到数字。

解决方案：

We are given that the sum of first three terms are 27. Let’s suppose these three terms are a-d, a, a+d. 

So

                                  a-d + a + a+d = 27

                                           3a = 27

                                             a= 9

And we are given

                                 (a-d)*a*(a+d)  =648 

                                 a³ – ad²  = 648 

Putting value of a in this equation we can get value of d.

                                9³– 9d² =648

                               729- 9d² =648

                                      9d² = 81

                                       d² = 9

                                      d= ±3

For d = 3 three terms of AP are 6, 9, 12.

For d = -3 three terms are 12, 9, 6.

问题3.在AP中找到四个数字，它们的总和是50，最大的数字是最小的4倍。

解决方案：

We are given that the sum of first four terms are 50.  Let’s suppose these four terms are a-3d, a-d, a+d, a+3d. 

So

                             a-3d + a-d + a+d + a+3d = 50

                                           4a = 50

                                             a = 25/2

And we are given greatest number is 4 times the least, 

                             4(a-3d) = a +3d

                              4a – 12d = a + 3d

                                3a = 15d

                                  a = 5d

Putting value of a, we get

                         d = a/5 = 5/2

So the four terms of AP are

                         a – 3d = 25/2- 3*5/2 = 5

                         a – d  = 25/2- 5/2 = 10

                          a + d  = 25/2 + 5/2 = 15

                         a + 3d = 25/2 + 3*5/2 = 20

问题4. AP中三个数字的总和为12，而多维数据集的总和为288。找到数字。

解决方案：

We are given that the sum of first three terms are 12. Let’s suppose these three terms are a-d, a, a+d. 

So

                                  a-d + a + a+d = 12

                                           3a = 12

                                             a= 4

And we are given sum of there cubes is 288.

                         (a-d)³ + a³ + (a+d)³ = 288

                 a³-d³-3ad(a-d) +a³+ a³ +d³ + 3ad(a+d) = 288

Putting value of a in this equation,

                4³-d³-3*4*d(4-d) + 4³ + 4³ + d³ + 3*4*d(4+d) = 288

                64- d³-12d(4-d) + 64+64+ d³+ 12d(4+d) = 288

                          192+24d² =288

                                  24d²=96

                                      d²= 4

                                      d= ±2

For d = 2 three terms of AP are 2, 4, 6.

For d = -2 three terms are 6, 4, 2.

问题5.如果AP中三个数字的总和是24，它们的乘积是440。找到数字。

解决方案：

We are given that the sum of first three terms are 24. Let’s suppose these three terms are a-d, a, a+d.

So

                                 a-d + a + a +d = 24

                                          3a = 24

                                            a = 8

And we are given

                                (a-d)*a*(a+d) =440

                                a³ – ad²  = 440

Putting value of a in this equation we can get value of d.

                                8³– 8d² = 440

                                512- 8d² = 440

                                        8d² = 72

                                           d² = 9

                                           d = ±3 

For d = 3 three terms of AP are 5, 8, 11.

For d = -3 three terms are 11, 8, 5.

问题6.四边形的角度在AP中，其共同差为10。找到这些角度。

解决方案：

We are given that the angles of a quadrilateral are in AP and we know that there are four angles in quadrilateral and sum of all angles in 360.

So, let’s suppose these four angles are a-3d, a-d, a+d, a+3d.

We know sum of these angles is 360.

                                a-3d + a-d + a+d + a+3d = 360

                                                4a = 360

                                                 a =90

We are given that common difference is 10.

                                      (a-d) – (a-3d) = 10

                                                      2d = 10

                                                        d = 5

So the four angles are   

                                      a-3d = 90-15= 75

                                      a-d = 90 – 5 = 85

                                      a+d = 90 + 5 = 95

                                      a+3d = 90+15 = 105