第 11 课 RD Sharma 解决方案 - 第 19 章算术级数 - 练习 19.7|设置 1

简介

本文是关于解决 RD Sharma 第 11 课第 19 章算术级数中练习 19.7 设置 1 的解决方案。

RD Sharma 是一位印度数学教育家和作者，他的数学教材是印度数学课程的标准参考。在本文中，我们将为您提供一个解决方案，帮助您在 RD Sharma 中解决算术级数问题。这个解决方案将涵盖练习 19.7 的设置 1。

题目描述

设 $a$, $b$ 是连续的正整数，$S=\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b} + \cdots + \frac{1}{a+10b}$，求 $10S-9$ 的值。

解决方案

我们可以使用以下步骤来解决这个问题。

1. 合并分数
2. 化简分数
3. 求公式中 $T_{10}$ 的值
4. 用 $S=\frac{n}{2}(a+L)$ 这个公式求出 $S$ 的值
5. 求 $10S-9$ 的值

步骤 1：合并分数

首先，我们将问题中的分数相加。因此，

$$ S=\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b} + \cdots + \frac{1}{a+10b} $$

$$ =S=\frac{(a+b)+(a+2b)+\cdots+(a+10b)}{a(a+b)(a+2b)\cdots(a+10b)} $$

步骤 2：化简分数

我们可以看到，分母中的一些因子可以被消除，因此，

$$ S=\frac{11 \times a + 55 \times b}{a(a+b)(a+2b)\ldots(a+10b)} $$

步骤 3：求公式中 $T_{10}$ 的值

现在，我们需要找到公式中 $T_{10}$ 的值。由于 $T_{10}=a+9b$，所以

$$ S=\frac{11 \times a + 55 \times b}{a(a+b)(a+2b)\ldots(a+10b)}=\frac{11}{a+9b}\times \frac{a+9b+2b}{a(a+b)(a+2b)\ldots(a+9b)} $$

$$ =\frac{11}{a+9b}\times \frac{1}{a(a+b)(a+2b)\ldots(a+8b)}=\frac{11}{a+9b}\times \frac{1}{(a+9b) \times T_9} $$

因此，

$$ S=\frac{11}{a(a+9b)T_9} $$

步骤 4：用公式求 $S$ 值

现在，我们可以用公式 $S=\frac{n}{2}(a+L)$ 来求 $S$ 的值。因此，

$$ S=\frac{10}{2}(a+a+9b)=\frac{10}{2}(2a+9b)=10(a+4.5b) $$

步骤 5：求 $10S-9$ 的值

现在，我们可以使用公式 $10S-9=110(a+9b)$ 求出 $10S-9$ 的值。

因此，

$$ 10S-9=110(a+9b) $$

将 $S=\frac{11}{a(a+9b)T_9}$ 替换到上述公式中，我们得到

$$ 10 \times \frac{11}{a(a+9b)T_9} \times (10(a+4.5b))-9=110(a+9b) $$

化简得：

$$ 12100 = 110(a^2+9ab) $$

$$ a^2+9ab-110=0 $$

根据题目条件，$a$ 与 $b$ 是连续正整数，因此 $b=a+1$。

因此，将 $b=a+1$ 替换到 $a^2+9ab-110=0$ 中，我们得到

$$ a^2+9a(a+1)-110=0 $$

$$ 10a^2+9a-110=0 $$

使用求根公式得，

$$ a=\frac{-9 \pm \sqrt{9^2 + 4 \times 10 \times 110}}{20} $$

因此，$a=5$，所以 $b=6$。

将 $a$ 和 $b$ 替换到 $10S-9=110(a+9b)$ 中，得到

$$ 10S-9 = 110(5+9 \times 6) = 7041 $$

因此，

$$ S = \frac{7041+9}{10} = 705 $$

因此， $10S-9$ 的值是 $7041$，$S$ 的值是 $705$。

结论

在本文中，我们为您提供了一个解决 RD Sharma 第 11 课第 19 章算术级数中练习 19.7 的解决方案。我们解决问题的步骤如下：

1. 合并分数
2. 化简分数
3. 求公式中 $T_{10}$ 的值
4. 用公式求 $S$ 值
5. 求 $10S-9$ 的值

我们得出的结论是：$10S-9$ 的值是 $7041$，$S$ 的值是 $705$。

希望这个解决方案对您有所帮助！