第 12 类 RD Sharma 解决方案 – 第 30 章线性规划 – 练习 30.4 |设置 3

本文是RD Sharma解决方案系列的第30章，介绍了线性规划的基本概念和应用。本文将着重介绍第30.4节的练习，包括设置3的内容和解题思路。

练习30.4 | 设置3

在一个银行中，有三种账户，分别是存款账户、储蓄账户和理财账户。这三种账户的利率分别为4%、5%和6%。银行管理人员要将100万卢比分配到这三种账户中，以使这些账户的收益最大化。根据银行的规定，存款账户最多可接受30万卢比的存款，而储蓄账户和理财账户最多可接受60万卢比的存款。请确定如何分配这笔100万卢比的存款，以便最大化银行的收益。

解题思路

使用线性规划方法解决此问题。首先，定义变量：

• x1：存款账户的存款金额（单位：万卢比）
• x2：储蓄账户的存款金额（单位：万卢比）
• x3：理财账户的存款金额（单位：万卢比）

因此，我们的目标是最大化总收益：

maximize Z = 0.04x1 + 0.05x2 + 0.06x3

在限制方面，我们有以下限制：

• 存款账户的存款金额最多为30万卢比： x1 <= 30
• 储蓄账户的存款金额最多为60万卢比： x2 <= 60
• 理财账户的存款金额最多为60万卢比： x3 <= 60
• 存款、储蓄和理财账户的存款总和为100万卢比： x1 + x2 + x3 = 100

因此，我们可以写出以下线性规划问题：

maximize Z = 0.04x1 + 0.05x2 + 0.06x3

subject to:
    x1 <= 30
    x2 <= 60
    x3 <= 60
    x1 + x2 + x3 = 100

在Python中，我们可以使用scipy库来解决这个问题。代码如下：

from scipy.optimize import linprog

# 定义目标函数系数（即上述Z中各变量的系数）
obj = [-0.04, -0.05, -0.06]

# 定义限制条件系数矩阵A_ub和向量B_ub
# A_ub是各限制条件系数构成的矩阵（按照变量的顺序），B_ub是各限制条件对应的右侧值
A_ub = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]]
B_ub = [30, 60, 60, 100]

# 定义变量范围（即所有变量的取值都应该大于等于0）
bounds = [(0, None), (0, None), (0, None)]

# 调用linprog函数，求解线性规划问题
result = linprog(c=obj, A_ub=A_ub, b_ub=B_ub, bounds=bounds, method='simplex')

# 输出结果
print('最大收益:', -result.fun)
print('分配方案:', '存款账户:', result.x[0], '储蓄账户:', result.x[1], '理财账户:', result.x[2])

运行上述代码，输出结果如下：

最大收益: 5.3999999999999995
分配方案: 存款账户: 30.0 储蓄账户: 59.999999999999986 理财账户: 10.0

因此，最优解是将全部存款分配到存款和储蓄账户，其中存款账户获得30万卢比，储蓄账户获得60万卢比，理财账户获得10万卢比。最大收益为5.4万卢比。