令 G 为任意群。考虑 G 上的以下关系：
- R 1 : ∀a, b ∈ G, aR 1 b 当且仅当 ∃g ∈ G 使得 a = g −1 bg
- R 2 : ∀a, b ∈ G, aR 2 b 当且仅当 a = b −1
以上哪个是/是等价关系/关系?
(A) R 1和 R 2
(B)仅 R 1
(C)仅 R 2
(D)既不是 R 1也不是 R 2答案：(乙)
解释：给定R 1是一个等价关系，因为它满足自反、对称和传递条件：
- 自反： a = g –1 ag 可以通过放置 g = e 来满足，恒等式“e”始终存在于一个组中。
- 对称：
aRb ⇒ a = g–1bg for some g ⇒ b = gag–1 = (g–1)–1ag–1 g–1 always exists for every g ∈ G. - 传递性：
aRb and bRc ⇒ a = g1–1bg1 and b = g2–1 cg2 for some g1g2 ∈ G. Now a = g1–1 g2–1 cg2g1 = (g2g1)–1 cg2g1 g1 ∈ G and g2 ∈ G ⇒ g2g1 ∈ G since group is closed so aRb and aRb ⇒ aRc
R 2不是等价的，因为它不满足等价关系的自反条件：
aR2a ⇒ a = a–1 ∀a which not be true in a group. 所以，选项(B)是正确的。
这个问题的测验